Question

Докажите, что функция y=f(x) четная.

Answer 1

a) f(-x) =7cos(-4x)+3(-x)²=7cos4x+3x²=f(x); косинус четная функция!

b)$f(-x)=\frac{(-x)^2+x}{-x+2}-\frac{(-x)^2-x}{-x-2}=\frac{x^2+x}{-(x-2)}-\frac{x^2-x}{-(x+2)}=-\frac{x^2+x}{x-2}+\frac{x^2-x}{x+2}=\frac{x^2-x}{x+2}-\frac{x^2+x}{x-2}=f(x)$

Answer 2

$f(x) =7cos4x+3 x^{2} \\ f( - x) = \\ = 7cos( 4\times (- x))+3 ( - x)^{2} = \\ = 7cos( - 4x) + 3 {x}^{2} = \\ =7cos4x+3 x^{2} = f(x)$
$f(x) = \frac{x^{2}-x}{x+2} - \frac{x^{2}+x}{x-2} = \\ = \frac{( - x) ^{2} - ( - x) }{ - x + 2} - \frac{( - x) ^{2} + ( - x)}{ - x - 2} = \\ = - \frac{ {x}^{2} + x }{(x - 2)} + \frac{ {x }^{2} - x }{x + 2} = \\ = \frac{x^{2}-x}{x+2} - \frac{x^{2}+x}{x-2} = f(x)$

Answer 3

Для доказательства того, что функция y = f(x) является четной, нужно показать, что выполняется условие четности:

f(-x) = f(x) для всех x.

Это означает, что если мы заменим x на его отрицательное значение (-x) в функции, то получим такое же значение, как если бы мы использовали исходное значение x.

Давайте докажем это математически:

Пусть y = f(x) - исходная функция.

Чтобы функция была четной, должно выполняться условие:

f(-x) = f(x).

Докажем равенство f(-x) = f(x):

Пусть u = -x.

Тогда x = -u.

Теперь заменим x на -u в исходной функции:

f(-u) = y, где y - значение функции при x = -u.

Теперь вернемся к нашему выражению с переменной u:

f(-u) = f(-(-x)) = f(x).

Мы видим, что f(-u) = f(x).

Таким образом, мы доказали, что f(-x) = f(x) для всех x, что и требовалось показать. Значит, функция y = f(x) является четной.