Question

Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке Xo. y=x^3-4x^2+5, Xo=1

Answer 1

Уравнение касательной в точке есть:

f(x) = kx+b, где k - производная функции в этой же точке, b - находится из условия равенства f(x₀) и y(x₀).

Тогда:

y' = 3*x²-8x

Подставляем точку x = x0 = 1.

k = 3*1 - 8*1 = -5

Ищем b:

kx₀+b = y(x₀)

-5*1+b = 1-4+5 = 2

b = 7.

Итого уравнение касательной: f(x) = -5x+7

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $Xo$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите значение функции $f(x)$ в точке $Xo$, подставив $Xo$ в уравнение $y=f(x)$.
2. Найдите производную функции $f(x)$ (по $x$).
3. Вычислите значение производной в точке $Xo$, подставив $Xo$ в производную функции.
4. Используйте полученные значения из шагов 1 и 3 в уравнении касательной формы: $y-yo=m(x-xo)$, где $m$ - значение производной в точке $Xo$, $(xo, yo)$ - координаты точки $Xo$ на графике.

Итак, у нас дана функция $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$, и мы хотим найти уравнение касательной в точке $Xo = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $Xo = 1$:

$y = f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$.

Таким образом, $yo = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = d/dx (x^3 - 4x^2 + 5)$.

Производная данной функции равна:

$f'(x) = 3x^2 - 8x$.

3. Найдем значение производной в точке $Xo = 1$:

$m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = 3 - 8 = -5$.

Теперь у нас есть $m = -5$ (наклон касательной) и $(xo, yo) = (1, 2)$ (координаты точки на графике).

4. Теперь запишем уравнение касательной в точке $Xo = 1$:

$y - yo = m(x - xo)$.

Подставим известные значения:

$y - 2 = -5(x - 1)$.

Теперь можно упростить уравнение:

$y - 2 = -5x + 5$.

Для получения окончательного уравнения касательной выразим $y$:

$y = -5x + 7$.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$ в точке $Xo = 1$ равно $y = -5x + 7$.