Question

Знайти похідні таких функцій: 1) y = tg^2((2x + 7)^4) 2) y = (9x-3)/(x^2 + 3x - 1)

Answer 1

$y=tg^{2}((2x+7) ^{4})\\\\y'=2tg((2x+7)^{4})*(tg(2x+7) ^{4})'=2tg((2x+7) ^{4})* \frac{1}{Cos^{2}(2x+7)^{4}} *((2x+7) ^{4})'= \frac{2Sin(2x+7)^{4}}{Cos^{3}(2x+7)^{4}}*4(2x+7) ^{3}*(2x+7)'=\frac{16Sin(2x+7)^{4}*(2x+7)^{3}}{Cos^{3}(2x+7)^{4}}$

$y=\frac{9x-3}{x^{2}+3x-1}\\\\y'=\frac{(9x-3)'*(x^{2}+3x-1)-(9x-3)*(x^{2}+3x-1)'}{(x^{2}+3x-1)^{2}}= \frac{9*(x^{2}+3x-1)-(9x-3)*(2x+3)}{(x^{2}+3x-1)^{2}}=$$=\frac{9x^{2}+27x-9-18x^{2}-27x+6x+9}{(x^{2}+3x-1)^{2}}= \frac{-9x^{2}+6x} {(x^{2}+3x-1)^{2}}=- \frac{3x(3x-2)}{(x^{2}+3x-1)^{2}}$

Answer 2

Давайте знайдемо похідні заданих функцій за допомогою правил диференціювання. Припустимо, що $u$ та $v$ - функції, які мають похідні.

1. $y = \tan^2((2x + 7)^4)$

Для знаходження похідної цієї функції, спочатку використаємо правило ланцюгового диференціювання.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\tan^2(u)]$, де $u = (2x + 7)^4$.

Тепер, використовуючи правило диференціювання для $\tan^2(u)$, отримаємо:

$\frac{dy}{dx} = 2\tan(u) \cdot \frac{d}{dx}[\tan(u)]$.

Залишилося знайти $\frac{d}{dx}[\tan(u)]$, де $u = (2x + 7)^4$.

$\frac{d}{dx}[\tan(u)] = \frac{d}{du}[\tan(u)] \cdot \frac{du}{dx}$.

Похідна $\frac{d}{du}[\tan(u)]$ є $\sec^2(u)$, а $\frac{du}{dx}$ - це похідна функції $(2x + 7)^4$, тобто $4(2x + 7)^3$.

Тепер підставимо ці значення назад в наш вираз:

$\frac{dy}{dx} = 2\tan(u) \cdot \sec^2(u) \cdot 4(2x + 7)^3$.

Зрештою, підставимо $u = (2x + 7)^4$ та скоротимо:

$\frac{dy}{dx} = 8(2x + 7)^3 \tan((2x + 7)^4) \sec^2((2x + 7)^4)$.

2. $y = \frac{9x - 3}{x^2 + 3x - 1}$

Для знаходження похідної цієї функції, використовуємо правило диференціювання для дробових функцій.

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 3x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(9x - 3) - (9x - 3) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 1)}{(x^2 + 3x - 1)^2}$.

Знаходимо похідні від $9x - 3$ та $x^2 + 3x - 1$:

$\frac{d}{dx}(9x - 3) = 9$,

$\frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 1) = 2x + 3$.

Тепер підставимо їх назад у наш вираз:

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 3x - 1) \cdot 9 - (9x - 3) \cdot (2x + 3)}{(x^2 + 3x - 1)^2}$ 0 0