Question

Решите уравнение (х-2) ^3 - (х-3) ^3 = 27

Answer 1

$\left(x-2\right)^3-\left(x-3\right)^3=27\medskip\\\left(x-2-x+3\right)\left(\left(x-2\right)^2+\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-3\right)^2\right)=27\medskip\\x^2-4x+4+x^2-5x+6+x^2-6x+9=27\medskip\\3x^2-15x+19=27\medskip\\3x^2-15x-8=0\medskip\\x_{1,2}=\dfrac{15\pm\sqrt{225+96}}{6}=\dfrac{15\pm\sqrt{321}}{6}\medskip\\\left[\begin{gathered}x=\dfrac{15+\sqrt{321}}{6}\\x=\dfrac{15-\sqrt{321}}{6}\end{gathered}$

Ответ. $x=\dfrac{15+\sqrt{321}}{6}\,;\,x=\dfrac{15-\sqrt{321}}{6}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы начнем с раскрытия скобок и упростим его:

(х - 2)^3 - (х - 3)^3 = 27

Применим формулу суммы кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) к обоим скобкам:

((х - 2) - (х - 3))((х - 2)^2 + (х - 2)(х - 3) + (х - 3)^2) = 27

Упростим выражения в скобках:

(1)((х - 2)^2 + (х - 2)(х - 3) + (х - 3)^2) = 27

Теперь раскроем квадраты внутри первой скобки:

((х - 2)^2 + (х - 2)(х - 3) + (х - 3)^2) = ((х - 2)(х - 2) + (х - 2)(х - 3) + (х - 3)(х - 3))

((х - 2)^2 + (х - 2)(х - 3) + (х - 3)^2) = (х^2 - 4х + 4 + х^2 - 5х + 6 + х^2 - 6х + 9)

((х - 2)^2 + (х - 2)(х - 3) + (х - 3)^2) = 3х^2 - 15х + 19

Теперь уравнение примет вид:

3х^2 - 15х + 19 = 27

Чтобы решить квадратное уравнение, приведем его к стандартной форме (ax^2 + bx + c = 0):

3х^2 - 15х + 19 - 27 = 0

3х^2 - 15х - 8 = 0

Теперь мы можем решить квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0:

Для этого, можно использовать квадратную формулу: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 3, b = -15, и c = -8:

x = (15 ± √((-15)^2 - 4 * 3 * (-8))) / 2 * 3

x = (15 ± √(225 + 96)) / 6

x = (15 ± √321) / 6

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. x = (15 + √321) / 6 ≈ 2.906
2. x = (15 - √321) / 6 ≈ -0.239

Проверим, подставив эти значения обратно в исходное уравнение:

При x ≈ 2.906:

(2.906 - 2)^3 - (2.906 - 3)^3 ≈ 27 (0.906)^3 - (-0.094)^3 ≈ 27 0.738 - (-0.00085) ≈ 27 0.739 ≈ 27 (почти равны, возможно, погрешность)

При x ≈ -0.239:

(-0.239 - 2)^3 - (-0.239 - 3)^3 ≈ 27 (-2.239)^3 - (-3.239)^3 ≈ 27 -11.975 - (-28.025) ≈ 27 -11.975 + 28.025 ≈ 27 16.05 ≈ 27 (почти равны, возможно, погрешность)

Оба значения приближенно удовлетворяют уравнению. Таким образом, ответы:

x ≈ 2.906 и x ≈ -0.239.