Question

(a^2-2b)^5 Разложите бином

Answer 1

Согласно биному Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые 5-й степени суммы двух переменных такова:

(a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Разложим данный бином с помощью этой формулы:

    $(a^2 -2b)^5 =\\\\=(a^2)^5+5(a^2)^4*(-2b)+10(a^2)^3(-2b)^2+10(a^2)^2(-2b)^3+5a^2(-2b)^4+(-2b)^5=\\\\=a^{10}-10a^8b+10a^6*4b^2+10a^4(-8)b^3+5a^2*16b^4+(-32)b^5=\\\\=a^{10}-10a^8b+40a^6b^2-80a^4b^3+80a^2b^4-32b^5$

Ответ:  $(a^2 -2b)^5 =a^{10}-10a^8b+40a^6b^2-80a^4b^3+80a^2b^4-32b^5$

Answer 2

Для разложения бинома $(a^2 - 2b)^5$ воспользуемся биномиальной теоремой, которая утверждает, что:

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$,

где $\binom{n}{k}$ представляет собой биномиальный коэффициент и вычисляется как $\frac{n!}{k! (n-k)!}$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = -2b$, а $n = 5$. Теперь разложим $(a^2 - 2b)^5$:

$(a^2 - 2b)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (a^2)^{5-k} (-2b)^k$.

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты для каждого значения $k$ и разложим выражение:

$\binom{5}{0} (a^2)^5 (-2b)^0 + \binom{5}{1} (a^2)^4 (-2b)^1 + \binom{5}{2} (a^2)^3 (-2b)^2 + \binom{5}{3} (a^2)^2 (-2b)^3 + \binom{5}{4} (a^2)^1 (-2b)^4 + \binom{5}{5} (a^2)^0 (-2b)^5$.

Теперь вычислим значения биномиальных коэффициентов:

$\binom{5}{0} = 1$, $\binom{5}{1} = 5$, $\binom{5}{2} = 10$, $\binom{5}{3} = 10$, $\binom{5}{4} = 5$, $\binom{5}{5} = 1$.

Теперь разложим каждый член:

$1 \cdot (a^2)^5 \cdot (-2b)^0 = a^{10}$, $5 \cdot (a^2)^4 \cdot (-2b)^1 = -10a^8b$, $10 \cdot (a^2)^3 \cdot (-2b)^2 = 40a^6b^2$, $10 \cdot (a^2)^2 \cdot (-2b)^3 = -80a^4b^3$, $5 \cdot (a^2)^1 \cdot (-2b)^4 = 80a^2b^4$