Question

Здраствуйте, обясните пожалуйста очень подробно алгоритм решения дробово-раиональных неравенств с параметрами... Например (x-2)/(ax-1)<0

Answer 1

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

1. Перенести все члены неравенства в левую часть.

2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде :

$\frac{f(x)}{g(x)}$

3. Найти значения х, при которых функция y= может менять свой знак. Это корни уравнений

4. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.

5. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.

6. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ? 0 ( ? 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Answer 2

Здравствуйте!

Дробово-рациональные неравенства с параметрами имеют вид:

$\frac{P(x)}{Q(x)} < 0$

где $P(x)$ и $Q(x)$ - это многочлены с параметрами $a$ и $x$. Наша задача - найти значения параметров $a$, при которых данное неравенство выполняется.

Для решения такого неравенства с параметрами, мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти значения $x$, при которых знаменатель $Q(x)$ обращается в ноль. Эти значения называются "критическими точками". Нам нужно исключить эти значения из области допустимых решений, так как в этих точках неравенство будет неопределено (деление на ноль невозможно).

Шаг 2: Определить знак выражения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ в каждой интервальной области между критическими точками.

Шаг 3: Найти значения параметров $a$, при которых неравенство выполняется в определенных интервалах.

Давайте рассмотрим пример неравенства с параметром:

$\frac{x-2}{ax-1} < 0$

Шаг 1: Найдем значения $x$, при которых знаменатель $Q(x) = ax - 1$ обращается в ноль:

$ax - 1 = 0$

Отсюда получаем:

$x = \frac{1}{a}$

Критическая точка $x = \frac{1}{a}$. Мы должны исключить эту точку из области допустимых решений.

Шаг 2: Определим знак выражения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ в каждой интервальной области между критическими точками. Для этого нам нужно рассмотреть три интервала:

• Если $x < \frac{1}{a}$, то как $x - 2$ так и $ax - 1$ отрицательны (при $x < \frac{1}{a}$, оба выражения отрицательны).
• Если $x > \frac{1}{a}$, то как $x - 2$ так и $ax - 1$ положительны (при $x > \frac{1}{a}$, оба выражения положительны).
• Если $x = \frac{1}{a}$, то неравенство не определено (деление на ноль).

Шаг 3: Найдем значения параметра $a$, при которых неравенство выполняется в определенных интервалах.

Мы знаем, что неравенство верно в интервалах, где один из множителей числителя отрицателен, а другой положителен.

1. При $x < \frac{1}{a}$ неравенство будет выполнено, если $(x - 2) < 0$ и $(ax - 1) > 0$.

   • Из условия $(x - 2) < 0$ получаем $x < 2$.
   • Из условия $(ax - 1) > 0$ получаем $x > \frac{1}{a}$.

2. При $x > \frac{1}{a}$ неравенство будет выполнено, если $(x - 2) > 0$ и $(ax - 1) < 0$.

   • Из условия $(x - 2) > 0$ получаем $x > 2$.
   • Из условия $(ax - 1) < 0$ получаем $x < \frac{1}{a}$.

Таким образом, чтобы выполнялось исходное неравенство $\frac{x-2}{ax-1} < 0$, нужно, чтобы $x$ удовлетворял следующим условиям:

1. $x < 2$ и $x > \frac{1}{a}$
2. $x > 2$ и $x < \frac{1}{a}$

Вот и все! Теперь у нас есть условия на $x$ в зависимости от параметра $a$, которые обеспечивают выполнение данного дробово-рационального неравенства.