Question

Сколько нечетных чисел не превосходящих 100 имеет ровно 4 натуральных делителей (включая 1 и само число)?

Answer 1

Для канонического представления числа $x=p_{1}^{q_{1}}*p_{2}^{q_{2}}...p_{k}^{q_{k}}$, где $p_{1},p_{2}...p_{k}$ простые, а $q_{1},q_{2}...q_{k}$ натуральные, количество натуральных делителей равно $(q_{1}+1)(q_{2}+1)...(q_{k}+1)$.

Если у числа ровно 4 натуральных делителя, то число представимо в виде: $p_{1}^{3}$ или $p_{1}^{1}*p_{2}^1$

В первом случае только 27 (т.к. уже 125 не подходит)

Во втором случае: 15, 21, 33, 39, 51, 57, 69, 87, 93, 35, 55, 65, 85, 95, 77, 91

Всего 17

Answer 2

Чтобы определить, сколько нечетных чисел не превосходят 100 и имеют ровно 4 натуральных делителя, давайте проанализируем такие числа.

Чтобы число имело ровно 4 делителя, оно должно иметь форму $p^3 \times q$, где $p$ и $q$ - простые числа, возможно совпадающие.

Таким образом, возможны следующие варианты:

1. $p^3 \times q$, где $p$ - нечетное простое число, а $q$ - нечетное простое число. Например, 3^3 * 5 = 135, 5^3 * 7 = 875, и т.д.

2. $p^3 \times q$, где $p$ - нечетное простое число, а $q = p$. Например, 3^3 * 3 = 27, 5^3 * 5 = 125, и т.д.

Теперь найдем все нечетные простые числа $p$, для которых $p^3 \times q \leq 100$ и определим соответствующие значения $q$.

Для $p = 3$, $p^3 \times q = 27 \times q$. Максимальное нечетное значение $q$, чтобы результат был меньше или равен 100, это $q = 3$, итак, 27 * 3 = 81 (попадает в диапазон).

Для $p = 5$, $p^3 \times q = 125 \times q$. Максимальное нечетное значение $q$, чтобы результат был меньше или равен 100, это $q = 1$, итак, 125 * 1 = 125 (попадает в диапазон).

Для $p = 7$, $p^3 \times q = 343 \times q$. Максимальное нечетное значение $q$, чтобы результат был меньше или равен 100, это $q = 1$, итак, 343 * 1 = 343 (не попадает в диапазон).

Таким образом, у нас есть два числа, удовлетворяющих условиям: 81 и 125.

Ответ: Всего 2 нечетных числа (81 и 125) не превосходят 100 и имеют ровно 4 натуральных делителя.