Question

Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

Answer 1

Решение:
Любое натуральное число N представимо в виде произведения
  N = (p1k1)*(p2k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
  15 = (31)*(51)
  72 = 8*9 = (23)*(32)


Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
  N1 = (p1k[1,1])*(p2k[1,2])*...
  N2 = (p1k[2,1])*(p2k[2,2])*...
...,
а это значит, что
  P = (p1(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

  Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, ... N11 = p11.

То есть, например,
  N1 = 21 = 2,
  N2 = 22 = 4,
  N3 = 23 = 8,
...
  N11 = 211 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.

Answer 2

Чтобы число p имело наименьшее количество натуральных делителей, нужно, чтобы число p было степенью простого числа.

11 различных натуральных чисел, больших 1, могут быть представлены как произведение: 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31

Получаем, что p = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31

Число p – это произведение 11 различных простых чисел. Каждое простое число имеет 2 делителя – 1 и само число. Следовательно, общее количество делителей числа p будет: (1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1) = 2^11 = 2048

Итак, наименьшее число натуральных делителей, которое может иметь число p, равно 2048.