Question

Привести уравнение кривой второго y*y-2x-8y+6 порядка к каноническому виду

Answer 1

Дано уравнение кривой второго порядка y²-2x-8y+6 = 0.

Выделяем полные квадраты для y:

(y²-2*4y + 4²) - 1*4² = (y-4)² - 16.

Преобразуем исходное уравнение:

(y-4)² = 2x + 10

Получили уравнение параболы:

(y - y0)² = 2p(x - x0).

(y - 4)² = 2*1(x - (-5)).

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (-5;4)

Параметр p = 1.

Координаты фокуса:  F = (x0 + (p/2)); Yo) = (-5 + (1/2)); 4) = (-4,5; 4).

Уравнение директрисы: x = x0 - p/2

x = -5 - 1/2 = -11/2.

Answer 2

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, нужно выполнить процедуру завершения квадратов. Предположим, что у нас есть уравнение вида:

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0

где A, B, C, D и E - коэффициенты уравнения. В нашем случае, у нас уравнение:

y^2 - 2x - 8y + 6 = 0

1. Начнем с завершения квадрата по переменной y. Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента y:

y^2 - 8y + (8/2)^2 - (8/2)^2 - 2x + 6 = 0

2. Теперь проведем группировку членов:

(y^2 - 8y + 16) - 2x + 6 - 16 = 0

3. Преобразуем первые три члена в квадратный трехчлен:

(y - 4)^2 - 2x - 10 = 0

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде:

(y - 4)^2 - 2x - 10 = 0

Канонический вид уравнения кривой второго порядка позволяет легче анализировать и интерпретировать характеристики кривой.