Question

Привести уравнение кривой второго порядка f (x,y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax+By+C=0. построить графики кривой и прямой. x (в квадрате) + y (в квадрате) +8x +2y-8=0 x+y-2=0

Answer 1

Дополним уравнение и преобразуем его к каноническому виду
(x^2+8x+16)+(y^2+2y+1)-8 -17=20
(x+4)^2+(y+1)^2=25

из уравнения прямой y=2-x

подставим в уравнение окружности и решим уравнение 
(x+4)^2+(3-x)^2=25
(x+4)^2+(x-3)^2=25
x^2+8x+16+x^2-6x+9=25
2x^2+2x=0
2x(x+1)=0
x=0 x=-1
y=2 y=3 
точки пересечения (0;2) (-1;3)

Answer 2

Уравнение кривой второго порядка f(x,y) = 0, приведённое к каноническому виду, имеет форму (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1, если f(x,y) > 0, или (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = -1, если f(x,y) < 0, где (h,k) - координаты центра эллипса, a и b - полуоси эллипса.

Даны два уравнения: 1) x^2 + y^2 + 8x + 2y - 8 = 0 2) x + y - 2 = 0

Для начала приведем уравнение 1) к каноническому виду. Добавим и вычтем квадраты коэффициентов при x и y, а также добавим 8 и 2 в каждой скобке: (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) - 9 - 1 = 0 (x + 4)^2 + (y + 1)^2 - 10 = 0

Теперь получили уравнение кривой второго порядка в каноническом виду: (x + 4)^2/10 + (y + 1)^2/10 = 1. Замечаем, что это уравнение эллипса.

Для нахождения точек пересечения с прямой воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение y из уравнения 2) в уравнение эллипса: (x + 4)^2/10 + (2 - x)^2/10 = 1 (x + 4)^2 + (2 - x)^2 = 10 x^2 + 8x + 16 + x^2 - 4x + 4 = 10 2x^2 + 4x + 10 = 10 2x^2 + 4x = 0 2x(x + 2) = 0

Решая это уравнение, найдем две точки пересечения: x = 0 и x = -2. Подставим найденные значения x в уравнение 2) для нахождения соответствующих y: Для x = 0: 0 + y - 2 = 0 => y = 2 Для x = -2: -2 + y - 2 = 0 => y = 4

Таким образом, точки пересечения кривой и прямой: (0, 2) и (-2, 4).

Теперь построим графики кривой и прямой: График кривой второго порядка (эллипс):

[График неизвестного эллипса]

График прямой:

[График прямой]

Точки пересечения обозначены на графиках.