Question

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой 9х^2-18x-4y^2+16y-7=0 Только с объяснениями, pls

Answer 1

Дано уравнение 9x^2 - 18x - 4y^2 + 16y - 7 = 0.

Выделим полные квадраты.

(9х^2 - 18x + 9) - 9 - (4y^2 - 16y + 16) + 16 - 7 = 0,

9(x - 1)² - 4(y - 2)² = 0.

Разделим на 4: ((x - 1)²/(2/3)²) - (y - 2)² = 0

Это пара пересекающихся прямых:

y = (-3/2)x + (7/2),

y = (3/2)x + (1/2).

Answer 2

Дано уравнение кривой второго порядка: 9x^2 - 18x - 4y^2 + 16y - 7 = 0.

Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выразить его в виде суммы квадратов двух функций. Для этого разделим исходное уравнение на 9 (приведем его к коэффициенту при x^2 равному 1):

x^2 - 2x - (4/9)y^2 + (16/9)y - (7/9) = 0.

Теперь сгруппируем переменные x и y отдельно:

(x^2 - 2x) - (4/9)(y^2 - (4/9)y) = (7/9).

Для завершения квадратного трехчлена x^2 - 2x добавим к обеим сторонам уравнения квадратное дополнение ((-2/2)^2 = 1):

(x^2 - 2x + 1) - 1 - (4/9)(y^2 - (4/9)y) = (7/9).

Теперь сгруппируем квадратные трехчлены в скобках и упростим:

(x - 1)^2 - (4/9)(y^2 - (4/9)y) = (7/9) + 1.

(x - 1)^2 - (4/9)(y^2 - (4/9)y) = (16/9).

(x - 1)^2 - (4/9)(y^2 - (4/9)y + (2/3)^2 - (2/3)^2) = (16/9).

(x - 1)^2 - (4/9)((y - 2/3)^2 - 4/9) = 16/9.

(x - 1)^2 - (4/9)(y - 2/3)^2 + 4/9 = 16/9.

Теперь уравнение находится в каноническом виде:

(x - 1)^2 - (4/9)(y - 2/3)^2 = 16/9 - 4/9.

(x - 1)^2 - (4/9)(y - 2/3)^2 = 12/9.

(x - 1)^2 - (4/9)(y - 2/3)^2 = 4/3.

Уравнение кривой второго порядка теперь находится в каноническом виде: (x - 1)^2 - (4/9)(y - 2/3)^2 = 4/3.

Тип кривой можно определить, исследуя знаки коэффициентов при квадратичных членах. В данном случае, коэффициент при (x - 1)^2 положительный, а коэффициент при (y - 2/3)^2 отрицательный. Это означает, что