Question

( Матрица перехода от базиса a1,a2,a3 к a1,a3,a4 ) a1=(1;0;-5) a2=(-3:-2;-4) а3=(0;0;-1) а4=(0;1;0)

Answer 1

1. Выразим векторы второго базиса через первый:

Вектор a₁:

$a_1=\beta_1a_1+\beta_2a_2+\beta_3a_3 \\ a_1=1\cdot a_1+0\cdot a_2+0\cdot a_3$

Вектор a₃:

$a_3=\beta_1a_1+\beta_2a_2+\beta_3a_3 \\ a_3=0\cdot a_1+0\cdot a_2+1\cdot a_3$

Вектор a₄:

$a_4=\beta_1a_1+\beta_2a_2+\beta_3a_3 \\ \\ (0,1,0)=\beta_1(1,0,-5)+\beta_2(-3,-2,-4)+\beta_3(0,0,-1) \\ \\ (0,1,0)=(\beta_1,0,-5\beta_1)+(-3\beta_2,-2\beta_2,-4\beta_2)+(0,0,-\beta_3) \\ \\ \left\{\begin{matrix}\beta_1-3\beta_2+0=0\\ 0-2\beta_2+0=1\\ -5\beta_1-4\beta_2-\beta_3=0\end{matrix}\right. \\ \\ \left\{\begin{matrix}\beta_1=-\frac{3}{2}\\ \\ \beta_2=-\frac{1}{2}\\ \\ \beta_3=\frac{19}{2}\end{matrix}\right. \\\\\\a_4=-\frac{3}{2}a_1-\frac{1}{2}a_2+\frac{19}{2}a_3$

2. Составим матрицу перехода:

• Найдём значения β₁ в каждом векторе (1; 0; -3/2). Эти значения будут составлять 1-ю строку матрицы перехода.
• После найдём все значения β₂ (0, 0, -1/2). Они соответственно образуют 2-ю строку матрицы. Аналогично β₃

Таким образом, получим следующую матрицу перехода:

$T=\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 &\frac{19}{2} \end{pmatrix}$

Матрица T -- искомая матрица перехода от базиса a₁, a₂, a₃ к базису a₁, a₃, a₄.

Answer 2

Для нахождения матрицы перехода от базиса {a1, a2, a3} к базису {a1, a3, a4}, нужно выразить каждый из новых базисных векторов {a1, a3, a4} в терминах старых базисных векторов {a1, a2, a3}, а затем представить это в виде матрицы.

Пусть матрица перехода будет обозначаться как P, тогда:

a1 = (1; 0; -5) a2 = (-3; -2; -4) a3 = (0; 0; -1) a4 = (0; 1; 0)

Так как a1 остается без изменений, координаты вектора a1 в новом базисе такие же:

a1_new = (1; 0; 0)

Теперь выразим вектор a3 в терминах старых базисных векторов:

a3_new = a3 = (0; 0; -1)

Теперь выразим вектор a4 в терминах старых базисных векторов:

a4_new = a4 - a2 = (0; 1; 0) - (-3; -2; -4) = (3; 3; 4)

Теперь мы можем собрать матрицу перехода P из новых базисных векторов:

P = [a1_new, a3_new, a4_new] = [(1, 0, 0), (0, 0, -1), (3, 3, 4)]

В результате матрица перехода P будет выглядеть следующим образом:

P = | 1 0 3 | | 0 0 3 | | 0 -1 4 |