Question

Решите пожалуйста логарифмическое неравенство 2log2(7-x)-log2(x-2)≥4

Answer 1

Ответ на фото//////////////

Answer 2

Для решения логарифмического неравенства, нам нужно применить несколько шагов. В данном случае, так как основание логарифма равно 2, мы можем использовать свойство логарифма:

1. Сначала объединим логарифмы с одинаковыми основаниями: 2 * log2(7 - x) - log2(x - 2) ≥ 4

2. Преобразуем логарифмы в один: log2((7 - x)^2 / (x - 2)) ≥ 4

3. Применим свойство логарифма: если log(a) ≥ b, то a ≥ 2^b: (7 - x)^2 / (x - 2) ≥ 2^4

4. Упростим неравенство: (7 - x)^2 / (x - 2) ≥ 16

5. Избавимся от дроби, умножив обе стороны на (x - 2) (при этом учитываем, что x ≠ 2): (7 - x)^2 ≥ 16 * (x - 2)

6. Раскроем квадрат слева: (49 - 14x + x^2) ≥ 16x - 32

7. Перенесем все элементы в одну сторону, чтобы получить неравенство равным нулю: x^2 - 14x + 49 - 16x + 32 ≥ 0

8. Упростим: x^2 - 30x + 81 ≥ 0

9. Найдем корни уравнения x^2 - 30x + 81 = 0, чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство.

Для решения квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -30, c = 81

D = (-30)^2 - 4 * 1 * 81 D = 900 - 324 D = 576

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два действительных корня.

10. Найдем корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a x = (30 ± √576) / 2 x = (30 ± 24) / 2

Таким образом, имеем два корня: x₁ = (30 + 24) / 2 = 54 / 2 = 27 x₂ = (30 - 24) / 2 = 6 / 2 = 3

11. Теперь проверим значения между корнями и за пределами нашего интервала на выполнение неравенства:

a) При x < 3: Подставим x = 2 в исходное неравенство: 2 * log2(7 - 2) - log2(2 - 2) ≥ 4 2 * log2(5) - log2(0) ≥ 4

Отметим, что log2(0) не существует (логарифм от неположительного числа), поэтому данный интервал не подходит.

б) При 3 ≤ x ≤ 27: Подставим x = 3 в исходное неравенство: 2 * log2(7 - 3) - log2(3 - 2) ≥ 4 2 * log2(4) - log2(1) ≥ 4 2 * 2 - 0 ≥ 4

Условие выполняется, так как 4 ≥ 4.

в) При x > 27: Подставим x = 28 в исходное неравенство: 2 * log2(7 - 28) - log2(28 - 2) ≥ 4 2 * log2(-21) - log2(26) ≥ 4

Опять же, мы имеем логарифм отрицательного числа, что недопустимо. Таким образом, этот интервал не подходит.

12. Итак, решением неравенства является интервал 3 ≤ x ≤ 27.