Question

В турнире по шашкам каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Всего было сыграно 120 партий. Сколько человек приняло участие в турнире?

Answer 1

Рассуждаем так

пронумеруем игроков

1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n

тогда первый игрок будет играть с (n-1) человеком

второй так же и всего игроков n

Значит количество партий n(n-1)  НО!

нужно Учесть что к примеру 1 игрок играет с 5 и мы посчитали эту партию в играх первого игрока, но 5 так же играет с первым и ему мы тоже эту игру посчитали. Значит одну и туже партию посчитали ДВАЖДЫ.  И таких повторяющихся партий у каждого игрока

Значит общее количество партий необходимо разделить на 2

Итого количество n(n-1) /2

составим уравнение

$\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=120\\\\n^2-n=240\\\\n^2-n-240=0\\\\ D=1+960=961=31^2\\\\n_{1.2}=\frac{1 \pm 31}{2}\\\\n_1=16; n_2=-15$

отрицательным количество игроков быть не может

Значит ответ  16 человек приняло участие в турнире

Answer 2

Давайте предположим, что в турнире участвовало N человек. Каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Количество партий, которые были сыграны, можно вычислить, используя сочетания (C) из комбинаторики.

Сочетание (C) из N элементов по k элементов вычисляется по формуле C(N, k) = N! / (k! * (N-k)!), где N! - факториал числа N.

В данной задаче, каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии, то есть k = 2 (поскольку в каждой паре всегда 2 игрока). Количество партий равно 120.

Получим уравнение:

C(N, 2) = 120

N! / (2! * (N-2)!) = 120

N! / (2 * (N-2)!) = 120

N! / (2 * (N-2) * (N-3)!) = 120

N * (N-1) / 2 = 120

N * (N-1) = 240

Теперь нам нужно найти два последовательных числа, произведение которых равно 240. Эти числа будут N и (N-1). Можно заметить, что 16 * 15 = 240, что означает, что N = 16.

Таким образом, в турнире приняло участие 16 человек.