Question

Площадь прямоугольника равна 180 см². Если одну из сторон уменьшить на 3 см, а другую на 2, то его площадь станет равна 120 см². Найдите первоначальные размеры прямоугольника.

Answer 1

a,b - стороны прямоугольника.

S₁ - это первая площадь (180)

S₂ - это вторая площадь (120)

Тогда запишем следующие равенства, составим систему и решим её.

$\left \{ {{S_1=180=ab} \atop {S_2=120=(a-3)(b-2)}} \right.\\a*b-3b-2a+6=120;\\180-3b-2a+6=120;\\66=3b+2a;\\3b=66-2a;\\180*3=3ab;\\540=(66-2a)a=-2a^2+66a\\2a^2-66a+540=0;\\a^2-33+270=0: D=1089-1080=3*3;\\a=\frac{33б3}{2}\\ \left[\begin{array}{ccc}a=18\\a=15\\\end{array}$

$\left[\begin{array}{ccc}\left \{ {{a=15} \atop {b=180/15=12}} \right. \\\left \{ {{a=18} \atop {b=180/18=10}} \right. \\\end{array}$

Ответ: 10 и 18 или 15 и 12

Answer 2

Пусть исходные размеры прямоугольника будут a см и b см (a > b). Тогда его площадь равна a * b = 180 см².

Также, по условию задачи, если одну из сторон уменьшить на 3 см, а другую на 2 см, то его площадь станет равна 120 см². Это означает, что новые размеры прямоугольника будут (a - 3) см и (b - 2) см.

Мы можем записать второе уравнение, используя новые размеры: (a - 3) * (b - 2) = 120 см²

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a * b = 180
2. (a - 3) * (b - 2) = 120

Давайте решим эту систему уравнений. Разложим второе уравнение:

a * b - 2a - 3b + 6 = 120

Теперь подставим значение a * b из первого уравнения:

180 - 2a - 3b + 6 = 120

Теперь приведем подобные члены:

-2a - 3b = 120 - 180 - 6

-2a - 3b = -66

Теперь выразим одну из переменных через другую. Например, выразим b:

b = (-66 + 2a) / (-3)

Теперь подставим значение b в первое уравнение:

a * [(-66 + 2a) / (-3)] = 180

Упростим уравнение:

a * (66 - 2a) = -540

Раскроем скобки:

66a - 2a^2 = -540

Теперь приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

2a^2 - 66a - 540 = 0

Решим квадратное уравнение:

a = (66 ± √(66^2 - 4 * 2 * (-540))) / (2 * 2)

a = (66 ± √(4356 + 4320)) / 4

a = (66 ± √8676) / 4

a = (66 ± 93.134) / 4

Так как a > b, выбираем положительное значение для a:

a = (66 + 93.134) / 4

a = 159.134 / 4

a ≈ 39.7835

Теперь найдем значение b, подставив найденное значение a в уравнение b = (-66 + 2a) / (-3):

b = (-66 + 2 * 39.7835) / (-3)

b = (-66 + 79.567) / (-3)

b ≈ 13.189

Таким образом, первоначальные размеры прямоугольника составляют около 39.78 см по одной стороне и около 13.19 см по другой стороне.