Question

При каких значениях разность дробей 6/а-4 и а/а+2 равна их произведению

Answer 1

$a \neq 4,a \neq -2$

$\frac{6}{a-4}-\frac{a}{a+2}=\frac{6}{a-4}\cdot\frac{a}{a+2}$

$\frac{6(a+2)-a(a-4)}{(a+2)}=\frac{6a}{(a-4)(a+2)}$

$6(a+2)-a(a-4)=6a$

$6a+12-a^2+4a=6a$

$6a+12-a^2+4a-6a=0$

$-a^2+4a+12=0\ /:(-1)$

$a^2-4a-12=0$

$a^2-6a+2a-12=0$

$a(a-6)+2(a-6)=0$

$(a-6)(a+2)=0$

$a-6=0\ \ \ \ a+2=0$

$a=6\ \ \ \ \ \ \ \ a=-2$

Ответ: a=6

Answer 2

Давайте найдем значения параметра "а", при которых разность дробей $\frac{6}{a-4}$ и $\frac{a}{a+2}$ будет равна их произведению.

Пусть $x$ - это значение, при котором выполняется условие, тогда условие записывается как:

$\frac{6}{a-4} - \frac{a}{a+2} = \frac{6}{a-4} \cdot \frac{a}{a+2}$

Для начала упростим правую часть:

$\frac{6}{a-4} \cdot \frac{a}{a+2} = \frac{6a}{(a-4)(a+2)}$

Теперь у нас есть уравнение:

$\frac{6}{a-4} - \frac{a}{a+2} = \frac{6a}{(a-4)(a+2)}$

Для того чтобы решить это уравнение, сначала приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(a-4)(a+2)$:

$\frac{6(a+2)}{(a-4)(a+2)} - \frac{a(a-4)}{(a-4)(a+2)} = \frac{6a}{(a-4)(a+2)}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{6(a+2) - a(a-4)}{(a-4)(a+2)} = \frac{6a}{(a-4)(a+2)}$

Теперь умножим обе части уравнения на $(a-4)(a+2)$ для того чтобы избавиться от знаменателя:

$6(a+2) - a(a-4) = 6a$

Раскроем скобки:

$6a + 12 - a^2 + 4a = 6a$

Теперь приведем подобные члены:

$6a + 12 - a^2 + 4a - 6a = 0$

$4a + 12 - a^2 = 0$

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

$a^2 - 4a - 12 = 0$

Данное уравнение является квадратным, и чтобы решить его, можно воспользоваться квадратным уравнением $ax^2 + bx + c = 0$:

$a = 1, \quad b = -4, \quad c = -12$

Применяя квадратное уравнение $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, найдем значения $a$:

$a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}$

$a = \frac{4 \pm 8}{2}$

Таким образом, получаем два значения:

1. $a = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$