Question

Для функции f(x)＝x/3+3/x найдите а)все ее критические точкиб)точки минимума и максимума

Answer 1

.................................................

Answer 2

Для нахождения критических точек функции, нужно найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Затем, чтобы определить, является ли каждая из этих критических точек точкой минимума или максимума, необходимо проанализировать знаки производной в окрестности каждой точки.

Давайте начнем с нахождения критических точек функции f(x) = x/3 + 3/x:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x/3) + d/dx (3/x) = 1/3 - 3/x^2.

2. Найдем значения x, при которых производная равна нулю: 1/3 - 3/x^2 = 0. 3/x^2 = 1/3. x^2 = 9. x = ±√9 = ±3.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 3 и x = -3.

Теперь определим тип каждой из этих критических точек, а также найдем точки минимума и максимума:

1. Для x = 3: Для определения типа критической точки воспользуемся второй производной тестом. Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = d/dx (1/3 - 3/x^2) = 6/x^3.

Подставим x = 3 во вторую производную: f''(3) = 6/(3^3) = 6/27 = 2/9.

Так как f''(3) > 0, то критическая точка x = 3 является точкой минимума.

2. Для x = -3: Аналогично для x = -3: f''(-3) = 6/(-3)^3 = 6/(-27) = -2/9.

Так как f''(-3) < 0, то критическая точка x = -3 является точкой максимума.

Итак, результаты: а) Критические точки функции f(x): x = 3 и x = -3. б) Точка минимума: x = 3. Точка максимума: x = -3.