Question

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Докажите, что если: 1) 3^n=-1(mod10), то 3^(n+4)=-1(mod10) 2) 2^n=1(mod13), то 2^(n+12)=1(mod13)

Answer 1

3^n≡-1(mod10)

рассмотрим

81≡1(mod10)

3^4≡1(mod10)

числа попарно сравнимы по модулю 10, перемножаем и получаем искомое тождество

3^n*3^4≡-1*1(mod10)

3^n+4≡-1*1

чтд

2^n≡1(mod13)

аналогично

2046≡1(mod13)

2^12≡1(mod13)

2^n*2^12≡1*1(mod13)

2^n+12≡1(mod13)

Answer 2

Здравствуйте!

Для доказательства данных утверждений вам понадобится знание теории остатков и свойств арифметических операций по модулю.

1. Докажем первое утверждение:

По условию, у нас имеется: 3^n ≡ -1 (mod 10).

Мы хотим доказать, что: 3^(n+4) ≡ -1 (mod 10).

Для этого заметим, что:

3^(n+4) = 3^n * 3^4.

Поскольку 3^n ≡ -1 (mod 10), то мы можем заменить 3^n на -1 в правой части:

3^(n+4) = -1 * 3^4.

Теперь посчитаем 3^4:

3^4 = 81.

Итак, у нас имеется:

3^(n+4) = -1 * 81.

3^(n+4) = -81.

Остаток -81 при делении на 10 равен -1 (поскольку -81 = -1 * 10 + (-1)), что означает:

3^(n+4) ≡ -1 (mod 10).

Таким образом, мы доказали первое утверждение.

2. Теперь перейдем ко второму утверждению:

По условию, у нас имеется: 2^n ≡ 1 (mod 13).

Мы хотим доказать, что: 2^(n+12) ≡ 1 (mod 13).

Для этого заметим, что:

2^(n+12) = 2^n * 2^12.

Поскольку 2^n ≡ 1 (mod 13), то мы можем заменить 2^n на 1 в правой части:

2^(n+12) = 1 * 2^12.

Теперь посчитаем 2^12:

2^12 = 4096.

Итак, у нас имеется:

2^(n+12) = 1 * 4096.

2^(n+12) = 4096.

Остаток 4096 при делении на 13 равен 1 (поскольку 4096 = 13 * 315 + 1), что означает:

2^(n+12) ≡ 1 (mod 13).

Таким образом, мы доказали второе утверждение.

Итак, оба утверждения подтверждены и доказаны.