Question

Решите систему неравенств: (x²+1)(x²+3)(x²-2)≥0 x<3

Answer 1

(x²+1)(x²+3)(x²-2)≥0  

x<3

Поскольку в первом неравенстве первые 2 множителя положительны, то оно равносильно неравенству x²-2 ≥ 0 . Имеем систему.

x²- 2 ≥ 0

x<3

x² ≥ 2

x<3

|x|  ≥ 2

x<3

x  ≥ 2         или       x  ≤ -2

x<3                         x<3

2 ≤ х < 3 или   x  ≤ -2.

Ответ: (-∞; -2] U [2; 3).

Answer 2

Чтобы решить данную систему неравенств, нужно рассмотреть два условия:

1. (x²+1)(x²+3)(x²-2) ≥ 0 (условие неравенства)
2. x < 3 (условие x)

Начнем с условия (2):

x < 3

Теперь рассмотрим условие (1):

(x²+1)(x²+3)(x²-2) ≥ 0

Для решения неравенства (1), найдем значения x, при которых выражение (x²+1)(x²+3)(x²-2) равно нулю или неопределено. Эти значения будут делить весь числовой промежуток на интервалы, в которых неравенство может быть выполнено.

1. x² + 1 = 0 x² = -1 Нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

2. x² + 3 = 0 x² = -3 Нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

3. x² - 2 = 0 x² = 2 x = ±√2

Таким образом, неравенство может менять свой знак при x = -√2, x = √2 и x = 3.

Теперь найдем значения функции (x²+1)(x²+3)(x²-2) на каждом из интервалов, которые получили:

1. x < -√2: Подставим x = -3 (любое значение меньше -√2) в выражение (x²+1)(x²+3)(x²-2): (-3)² + 1 = 9 + 1 = 10 (-3)² + 3 = 9 + 3 = 12 (-3)² - 2 = 9 - 2 = 7 Так как произведение трех положительных чисел равно положительному числу (10 * 12 * 7 > 0), то неравенство выполняется при x < -√2.

2. -√2 < x < √2: Подставим x = 0 (любое значение между -√2 и √2) в выражение (x²+1)(x²+3)(x²-2): 0² + 1 = 1 0² + 3 = 3 0² - 2 = -2 Так как произведение двух положительных чисел и одного отрицательного равно отрицательному числу (1 * 3 * (-2) < 0), то неравенство НЕ выполняется при -√2 < x < √2.

3. √2 < x < 3: Подставим x = 2.5 (любое значение между √2 и 3) в выражение (x²+1)(x²+3)(x²-2): (2.5)² + 1 = 6.25 + 1 = 7.25 (2.5)² + 3 = 6.25 + 3 = 9.25 (2.5)² - 2 = 6.25 - 2 = 4.25 Так как произведение трех положительных чисел равно положительному числу (7.25 * 9.25 * 4.25 > 0), то неравенство выполняется при √2 < x < 3.

4. x > 3: Подставим x = 4 (любое значение больше 3) в выражение (x²+1)(x²+3)(x²-2): 4² + 1 = 16 + 1 = 17 4² + 3 = 16 + 3 = 19 4² - 2 = 16 - 2 = 14 Так как произведение трех положительных чисел равно положительному числу (17 * 19 * 14 > 0), то неравенство выполняется при x > 3.

Таким образом, система неравенств (x²+1)(x²+3)(x²-2) ≥ 0 и x < 3 выполняется при x < -√2 и при √2 < x < 3.