Question

Help me please Найти производную функции: a) f(x) = (4√x + 3) (4√x - 3) + 2x^2 b) f(x) = (x^{2} + 5) (x^{2} - 4) + 2√x c) f(x) = √2x^2 - (3x - 2) (5x + 1) - √x

Answer 1

a)         /    ___    \     /    ___    \

     2*\4*\/ x  - 3/   2*\4*\/ x  + 3/

4*x + --------------- + ---------------

            ___               ___      

          \/ x              \/ x      

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из данных функций:

a) f(x) = (4√x + 3) (4√x - 3) + 2x^2

Для удобства вычислений, давайте обозначим первый множитель как u(x) = 4√x + 3 и второй множитель как v(x) = 4√x - 3.

Используем правило производной произведения функций: (uv)' = u'v + uv'

Вычислим производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx (4√x + 3) = 4 * (1/2) * x^(-1/2) = 2/√x

v'(x) = d/dx (4√x - 3) = 4 * (1/2) * x^(-1/2) = 2/√x

Теперь найдем производную функции f(x):

f'(x) = (u(x) * v'(x)) + (u'(x) * v(x)) f'(x) = [(4√x + 3) * (2/√x)] + [(2/√x) * (4√x - 3)] f'(x) = [8 + 6/√x] + [8 - 6/√x] f'(x) = 16

Ответ: f'(x) = 16

b) f(x) = (x^{2} + 5) (x^{2} - 4) + 2√x

Обозначим первый множитель как u(x) = x^{2} + 5 и второй множитель как v(x) = x^{2} - 4.

Используем правило производной произведения функций: (uv)' = u'v + uv'

Вычислим производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx (x^{2} + 5) = 2x

v'(x) = d/dx (x^{2} - 4) = 2x

Теперь найдем производную функции f(x):

f'(x) = (u(x) * v'(x)) + (u'(x) * v(x)) f'(x) = [(x^{2} + 5) * 2x] + [2x * (x^{2} - 4)] f'(x) = [2x^{3} + 10x] + [2x^{3} - 8x] f'(x) = 4x^{3} + 2x

Ответ: f'(x) = 4x^{3} + 2x

c) f(x) = √2x^2 - (3x - 2) (5x + 1) - √x

Обозначим первый множитель как u(x) = √2x^2 и второй множитель как v(x) = (3x - 2) (5x + 1).

Используем правило производной разности функций: (u - v)' = u' - v'

Вычислим производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx (√2x^2) = (√2) * d/dx (x^2) = (√2) * 2x = 2√2x

v'(x) = d/dx [(3x - 2) (5x + 1)] v'(x) = (3x - 2) * d/dx (5x + 1) + (5x + 1) * d/dx (3x - 2) v'(x) = (3x - 2) * 5 + (5x + 1) * 3 v'(x) = 15x - 10 + 15x + 3 v'(x) = 30x - 7

Теперь найдем производную функции f(x):

f'(x) = u'(x) - v'(x) f'(x) = 2√2x - (30x - 7) f'(x) = 2√2x - 30x + 7

Ответ: f'(x) = 2√2x - 30x + 7