Question

Решите уравнение | х^2 - 4х - 6 | = 2х+3

Answer 1

Раскроем модуль, для чего найдём корни квадратного уравнения, дискриминант D=16+24=40, корень х1=0,5*(4+√40)≈5,162, х2=0,5*(4-√40)≈-1,162. Тогда в диапазоне от -∞ до х2 и от х1 до +∞ заданное выражение примет вид х²-4*х-6-2*х-3=0⇒х²-6*х-9=0 (выражение под модулем положительно), его дискриминант 36+36=72, корни х3=0,5*(6+√72)≈7,243, х4=0,5*(6-√72)≈-1,243. В диапазоне между х1 и х2 данное выражение перепишем как -х²+4*х+6-2*х-3=-х²+2*х+3=0. Дискриминант 4+12=16, корни х5=-0,5*(-2+4)=-1; х6=-0,5*(-2-4)=-3 - не подходит, так как лежит вне диапазона х1 и х2. В итоге корни уравнения х3, х4 и х5.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны рассмотреть два случая, в которых модуль может быть положительным или отрицательным.

1. Первый случай: х^2 - 4х - 6 >= 0 (так как |x^2 - 4х - 6| всегда неотрицательное число).

   Решим неравенство: х^2 - 4х - 6 >= 0

   Сначала найдем корни уравнения х^2 - 4х - 6 = 0, используя квадратное уравнение.

   Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-6) = 16 + 24 = 40.

   Корни х = (-(-4) ± √40) / (2 * 1) = (4 ± √40) / 2 = (4 ± 2√10) / 2 = 2 ± √10.

   Таким образом, корни уравнения х^2 - 4х - 6 = 0: х₁ = 2 + √10 и х₂ = 2 - √10.

   Поскольку у нас модуль, нужно рассмотреть оба варианта корней:

   a) При x ≥ 2 + √10: |х^2 - 4х - 6| = х^2 - 4х - 6 = 2х + 3

   Подставляем значения корней: х^2 - 4х - 6 = 2х + 3 (2 + √10)^2 - 4(2 + √10) - 6 = 2(2 + √10) + 3 10 + 4√10 + 10 - 8 - 4√10 - 6 = 4 + 2√10 + 3 6 ≠ 7

   Уравнение не имеет решений при x ≥ 2 + √10.

   b) При x ≤ 2 - √10: |х^2 - 4х - 6| = -(х^2 - 4х - 6) = 2х + 3

   Подставляем значения корней: -(х^2 - 4х - 6) = 2х + 3 -(2 - √10)^2 - 4(2 - √10) - 6 = 2(2 - √10) + 3 -(10 - 4√10 + 10 - 8 + 4√10 - 6) = 4 - 2√10 + 3 -4 ≠ 7

   Уравнение не имеет решений при x ≤ 2 - √10.

2. Второй случай: х^2 - 4х - 6 < 0 (так как модуль отрицательного числа равен его противоположному положительному значению).

   Решим неравенство: х^2 - 4х - 6 < 0

   Здесь нам нужно найти значения х между корнями уравнения х^2 - 4х - 6 = 0: 2 - √10 < х < 2 + √10.

   Подставим значения из интервала в исходное уравнение и проверим их:

   a) При 2 - √10 < х < 2 + √10: |х^2 - 4х - 6| = -(х^2 - 4х - 6) = 2х + 3

   Проверяем для х = 2: -(2^2 - 4 * 2 - 6) = 2 * 2 + 3 -6 ≠ 7

   Уравнение не имеет решений в этом интервале.

Таким образом, уравнение |х^2 - 4х - 6| = 2х + 3 не имеет действительных решений.