Question

Знайти промiжки, у яких похiдна функции додатня F(x) =1/4x^4-2x^2 F(x)=1/5x^5-3/2x^2+2 Помогите с решением, пожалуйста

Answer 1

1) f(x) =1/4x⁴-2x²;

f '(x) =(1/4x⁴-2x²)' = 3x³ - 4x;

f '(x) = 0; 3x³ - 4x = 0; x(3x² - 4) = 0;

x₁ = 0 або 3x² - 4 = 0

                 3x² = 4

                  x² = 4/3

                 x₂ = 2/√3; x₃ = -2/√3.

- - - - -                   +++++        - - - - - -             ++++++

------------- -2/√3 ------------- 0 -------------- 2/√3 ---------------->

x∈ (-2/√3; 0) i x∈ (2/√3; ∝).

2) f(x)=1/5x⁵-3/2x²+2

f '(x) = (1/5x⁵-3/2x²+2)' = x⁴ - 3x²;

f '(x) = 0; x⁴ - 3x² = 0; x²(x² - 3) = 0;

x₁ = 0 або x² - 3 = 0;

                 x² = 3;

                x₂ = -√3; x₃ = √3.

++++++              - - - - - -      - - - - - -             ++++++

------------- -√3 ------------- 0 -------------- √3 ---------------->

x∈ (-∝; -√3) i x∈ (√3; ∝).

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки, на которых производная функции положительна, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции F(x).
2. Найдите критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
3. Определите знак производной на каждом интервале между критическими точками.
4. Изучите знак производной на бесконечности.

Теперь приступим к решению:

1. Найдем производную функции F(x) = (1/4)x^4 - 2x^2:

F'(x) = d/dx (1/4)x^4 - d/dx(2x^2) F'(x) = (1/4)(4x^3) - 4x F'(x) = x^3 - 4x

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение:

x^3 - 4x = 0

Факторизуем:

x(x^2 - 4) = 0

x = 0, x = -2, x = 2

Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 0, x = -2 и x = 2.

3. Определим знак производной на интервалах между критическими точками:

Для x < -2: Подставим x = -3 (значение между -2 и 0) в производную: F'(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 (отрицательное число)

Для -2 < x < 0: Подставим x = -1 (значение между -2 и 0) в производную: F'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 (положительное число)

Для 0 < x < 2: Подставим x = 1 (значение между 0 и 2) в производную: F'(1) = 1^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 (отрицательное число)

Для x > 2: Подставим x = 3 (значение больше 2) в производную: F'(3) = 3^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 (положительное число)

Теперь мы знаем знак производной на каждом интервале:

На (-∞, -2): Отрицательная На (-2, 0): Положительная На (0, 2): Отрицательная На (2, ∞): Положительная

4. Изучим знак производной на бесконечности.

Посмотрим, что происходит с производной, когда x стремится к бесконечности:

lim (x → ∞) F'(x) = lim (x → ∞) (x^3 - 4x)

При x → ∞, x^3 будет доминировать, и производная стремится к положительной бесконечности. То есть на бесконечности производная положительна.

Теперь мы можем собрать всю информацию:

Промежутки, на которых производная F(x) = (1/4)x^4 - 2x^2 положительна: (-∞, -2) и (2, ∞)

Надеюсь, это решение помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их.