Question

Побудуйте графiк функцiiy = |x2 + 2x -8|. Знайдiть за графiком :а) промiжки зростання та спадання функцii;б)промiжки на яких у>0: y<0

Answer 1

По украински не разговариваю, поэтому пишу как понял
Промежутки возрастания:
[-4;-1] и [2;+беск)

y=0
При x=2;-4
При всех других значениях y>0 

Answer 2

Давайте розглянемо функцію \( y = |x^2 + 2x - 8| \) і побудуємо її графік.

Спочатку розглянемо вираз в модулі: \( |x^2 + 2x - 8| \). Щоб знайти корені цього виразу, ми повинні вирішити рівняння \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).

Факторизуємо це рівняння або використовуємо квадратне рівняння: \[ (x - 2)(x + 4) = 0 \]

Звідси отримуємо два корені: \( x_1 = 2 \) і \( x_2 = -4 \). Ці точки є нулями функції.

Тепер, розглянемо три інтервали на вісі \( x \): \((- \infty, -4)\), \((-4, 2)\), та \((2, +\infty)\).

1. Інтервал \((- \infty, -4)\): - Підставимо \( x = -5 \) (який є довільним числом з цього інтервалу) у вираз \( x^2 + 2x - 8 \). - Отримаємо від'ємне число (-33 в даному випадку). - Модуль від'ємного числа є додатнім: \( |x^2 + 2x - 8| = 33 \) (додатне число). - Таким чином, функція зростає на цьому інтервалі.

2. Інтервал \((-4, 2)\): - Підставимо \( x = 0 \) (який є довільним числом з цього інтервалу) у вираз \( x^2 + 2x - 8 \). - Отримаємо від'ємне число (-8 в даному випадку). - Модуль від'ємного числа є додатнім: \( |x^2 + 2x - 8| = 8 \) (додатне число). - Таким чином, функція зростає на цьому інтервалі.

3. Інтервал \((2, +\infty)\): - Підставимо \( x = 3 \) (який є довільним числом з цього інтервалу) у вираз \( x^2 + 2x - 8 \). - Отримаємо додатне число (11 в даному випадку). - Модуль додатного числа є самим числом: \( |x^2 + 2x - 8| = 11 \) (додатне число). - Таким чином, функція також зростає на цьому інтервалі.

Тепер побудуємо графік функції:

                |               .
                |             . 
                |          .
                |       .
                |    .
                | .      
------------------------------------ x

На графіку вище точки (-4, 0) і (2, 0) позначають нулі функції. На інтервалах \((- \infty, -4)\) і \((2, +\infty)\) функція зростає, а на інтервалі \((-4, 2)\) також зростає. Функція ніколи не спадає, оскільки вона є модулем виразу, який завжди невід'ємний.