Question

Помогите решить функцию y=x^3+4/x^2 1.ОДЗ 2. четная/нечетная 3. Асимптоты 4. Нули функции 5. Монотонность, возрастание и убывание 6. Точки экстремума 7. Выпуклость и вогнутость 8. График функции

Answer 1

$y=\frac{x^3+4}{x^2}=x+\frac{4}{x^2}\\\\1.\; \; ODZ:\; \; x\ne 0\\\\2)\; \; y(-x)=\frac{(-x)^3+4}{(-x)^2}=\frac{-x^3+4}{x^2}\; ,\\\\y(-x)\ne y(x)\; ,\; \; y(-x)\ne -y(x)$

Функция общего вида ( не явл. ни чётной, ни нечётной).

$3)\; \; \lim\limits _{x \to 0}\Big (x+\frac{4}{x^2}\Big )=0+\infty =\infty \; \; \Rightarrow \; \; x=0\; -\; vertikalnaya\; asimptota\\\\\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^3+4}{x^2}=\infty \\\\y=kx+b\\\\k=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^3+4}{x^2\cdot x}=1\\\\b=\lim\limits _{x \to \infty}(y(x)-kx)=\lim\limits _{x \to \infty}(\frac{x^3+4}{x^2}-x)=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{4}{x^2}=0\\\\y=x\; -\; naklonnaya\; asimptota\\\\4)\; \; \frac{x^3+4}{x^2}=0\; \; \to\; \; x^3+4=0\; ,\; \; x=-\sqrt[3]{4}$

$5)\; \; y'=(x+\frac{4}{x^2})'=1-\frac{4\cdot 2x}{x^4}=1-\frac{8}{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}=0$

$x^3=8\; ,\; \; x=\sqrt[3]8=2\; \; ,\; \; x\ne 0\\\\znaki\; y'(x):\; \; +++(0)---[\, 2\, ]+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \; \; \nearrow \; \; (0)\; \; \; \; \searrow \; \; [\, 2\, ]\; \; \; \nearrow \\\\6)\; \; x_{min}=2\; \; ,\; \; y_{min}=y(2)=3\\\\7)\; \; y''=(1-\frac{8}{x^3})'=\frac{8\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{24}{x^4}>0\; \; pri\; \; x\in ODZ\; (x\ne 0\; )\; \; \to \\\\y(x)\; vognyta\; \; pri\; \; x\in ODZ$

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию y = x^3 + 4/x^2 и по очереди решим каждый из пунктов:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Заметим, что функция содержит дробное выражение 4/x^2. Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, ОДЗ функции y = x^3 + 4/x^2: x ≠ 0.

2. Четность/нечетность: Для определения четности или нечетности функции, нужно посмотреть на ее выражение. В данном случае у нас есть два слагаемых: x^3 (нечетная степень) и 4/x^2 (четная степень). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Асимптоты: Для нахождения асимптот нужно рассмотреть поведение функции на бесконечностях (при x -> +/- infinity). В данном случае у функции две асимптоты:

• Горизонтальная асимптота: При x -> +/- infinity, выражение 4/x^2 стремится к 0, и функция приближается к y = x^3.
• Вертикальная асимптота: При x -> 0, функция не определена, так как имеет дробное выражение с ненулевым знаменателем. Однако, если посмотреть на левую и правую части нуля, то функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной) из-за слагаемого x^3.

4. Нули функции: Нули функции это значения x, при которых y = 0. Решим уравнение: x^3 + 4/x^2 = 0 x^5 + 4 = 0 Такое уравнение не имеет рациональных корней, и его решение зависит от использования комплексных чисел. В общем случае, нули функции трудно найти аналитически.

5. Монотонность, возрастание и убывание: Для определения монотонности, нужно проанализировать знак производной функции. Возьмем производную функции и приравняем ее к нулю: y = x^3 + 4/x^2 y' = 3x^2 - 8/x^3

3x^2 - 8/x^3 = 0 3x^5 - 8 = 0 x^5 = 8 x = (8)^(1/5)

Теперь составим таблицу знаков производной в интервале между асимптотами и вокруг критической точки:

x < 0 | - | - | +

0 < x < (8)^(1/5) | - | + | +

x > (8)^(1/5) | + | + | +

Таким образом:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, (8)^(1/5)), затем снова возрастает на интервале ((8)^(1/5), +∞).
• Точка перегиба находится в окрестности x = 0 (так как изменение возрастания и убывания происходит там).
• Отсутствие точек экстремума на интервале, которые можно найти аналитически.

6. Точки экстремума: Так как функция монотонно возрастает на интервале (0, (8)^(1/5)), аналитических точек экстремума нет на этом интервале.

7. Выпуклость и вогнутость: Для определения выпуклости и вогнутости, нужно проанализировать знак второй производной функции. Возьмем вторую производную и вычислим ее:

y' = 3x^2 - 8/x^3 y'' = 6x + 24/x^4

Теперь составим таблицу знаков второй производной в интервале между асимптотами и вокруг критической точки:

x < 0 | - | - | +

0 < x < (8)^(1/5) | + | + | +

x > (8)^(1/5) | + | + | +

Таким образом:

• Функция выпукла на интервале (-∞, +∞) и вогнута на интервале (0, (8)^(1/5)).
• Точка перегиба находится в окрестности x = 0 (так как изменение выпуклости и вогнутости происходит там).

8. График функции: На основе анализа, мы можем построить график функции. Однако, точное построение графика без нулей функции и значения (8)^(1/5) будет сложной задачей. График будет иметь вертикальную асимптоту в x = 0 и горизонтальную асимптоту при y = x^3. Функция будет возрастать на интервале (0, (8)^(1/5)) и убывать на интервале (-∞, 0), а также возрастать на интервале ((8)^(1/5), +∞).