Question

Исследование функции y=x-1/x^21)ОДЗ (Область Допустимых Значений) 2)Нули функции 3)Четность и Нечетность 4)Периодичность 5)Производная6)Максимум и Минимум функции 7)Возрастание и Убывание 8)Выпуклость и Вогнутость

Answer 1

1)(-беск;0) и(0;+бескон.)

2) x^3-1=0

x=1

3)  не является ни четной, ни нечетной

4)непериодическая

5)y'=1-(-2x^(-3)=1+2/x^3

6) y'=0      1+2/x^3=0       x^3+2=0  х=-корень третьей степени из 2

y'(-3)=1+2/-27>0

Y'(3)=1+2/27>0

Y'(-1)=1+2/(-1)=-1<0

Все отметим на луче:     --корень третьей степени из 2       0  

                                             +                                                         -          +

х= -корень третьей степени из 2     тоучка максимума

7)  (-бескон-корень третьей степени из 2) возрастает  здесь

( -корень третьей степени из 2; 0)  убывает

(0;+бескон)     возрастает

8)  х=  -корень третьей степени из 2     точка выпуклости  здесь надо найти вообще-то вторую производную.......

Answer 2

Исследование функции y = x - 1/x^2

Давайте проведем детальное исследование функции y = x - 1/x^2, рассмотрев следующие пункты:

1) ОДЗ (Область Допустимых Значений):

Функция y = x - 1/x^2 определена для всех значений х, кроме x = 0, так как в этом случае происходит деление на ноль. Таким образом, область допустимых значений функции - это множество всех рациональных и иррациональных чисел, кроме нуля.

2) Нули функции:

Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Для данной функции, чтобы найти нули, мы должны решить уравнение x - 1/x^2 = 0. Умножим обе части уравнения на x^2 и получим x^3 - 1 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень x = 1. Таким образом, у функции есть один нулевой элемент при x = 1.

3) Четность и Нечетность:

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, мы должны проверить, совпадают ли значения функции для аргументов x и -x.

Для данной функции, подставим -x вместо x и получим y = -x - 1/(-x)^2. Упростив это выражение, получим y = -x - 1/x^2. Мы видим, что это выражение не равно исходной функции y = x - 1/x^2, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Периодичность:

Чтобы определить, является ли функция периодической, мы должны найти такое число T, при котором функция повторяется. Для данной функции, мы видим, что она не зависит от периодической переменной, поэтому функция не является периодической.

5) Производная:

Чтобы найти производную функции y = x - 1/x^2, мы применим правило дифференцирования для суммы и разности функций, а также правило дифференцирования для функции, обратной квадрату. Получим:

y' = 1 - (-2/x^3) = 1 + 2/x^3.

Таким образом, производная функции y = x - 1/x^2 равна y' = 1 + 2/x^3.

6) Максимум и Минимум функции:

Чтобы найти максимум и минимум функции, мы должны найти точки, в которых производная равна нулю или не существует, а также точки, в которых производная меняет знак.

Для функции y = x - 1/x^2, мы уже знаем, что у нее есть нулевой элемент при x = 1. Подставим x = 1 в производную функции y' = 1 + 2/x^3 и получим y' = 1 + 2/1^3 = 3. Таким образом, у функции есть минимум при x = 1.

7) Возрастание и Убывание:

Чтобы определить, когда функция возрастает или убывает, мы должны исследовать знак производной функции. Анализируя производную y' = 1 + 2/x^3, мы видим, что она положительна для всех значений x, кроме x = 0. Это означает, что функция y = x - 1/x^2 возрастает при x < 0 и убывает при x > 0.

8) Выпуклость и Вогнутость:

Чтобы определить выпуклость и вогнутость функции, мы должны исследовать знак второй производной функции. Для данной функции, возьмем вторую производную от производной функции y' = 1 + 2/x^3:

y'' = -6/x^4.

Мы видим, что вторая производная отрицательна для всех значений x, кроме x = 0. Это означает, что функция y = x - 1/x^2 является вогнутой вниз для всех значений x, кроме x = 0.

Таким образом, мы провели детальное исследование функции y = x - 1/x^2, включая область допустимых значений, нули функции, четность и нечетность, периодичность, производную, максимум и минимум, возрастание и убывание, а также выпуклость и вогнутость.

Answer 3

ОДЗ (Область Допустимых Значений)

Функция $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$ имеет определенную область допустимых значений, то есть значения $x$, для которых функция определена и не принимает бесконечных или несуществующих значений.

Область допустимых значений этой функции можно определить, решив неравенство $x^{2} + 1 \neq 0$. Так как $x^{2} + 1$ всегда положительно (так как квадрат любого числа неотрицателен, а прибавление единицы только увеличивает это значение), мы можем сделать вывод, что функция определена для всех действительных чисел $x$.

Таким образом, область допустимых значений функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$ - это множество всех действительных чисел.

Нули функции

Чтобы найти нули функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$, мы решим уравнение $y = 0$. Заменим $y$ на $0$ в уравнении и решим его:

$0 = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$

Мы можем умножить оба выражения на $x^{2} + 1$, чтобы убрать знаменатель:

$0 \cdot (x^{2} + 1) = x - 1$

$x^{2} + 1 = x - 1$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Однако, при решении этого уравнения нет действительных корней, так как его дискриминант отрицательный.

Таким образом, функция $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$ не имеет действительных нулей.

Четность и Нечетность

Чтобы определить четность или нечетность функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$, мы должны проверить, сохраняется ли функция при замене $x$ на $-x$. Если функция не меняется, то она является четной, если меняется с изменением знака, то она является нечетной.

Подставим $-x$ вместо $x$ в функцию и сравним результаты:

$y = \frac{(-x)-1}{(-x)^{2} + 1}$

$y = \frac{-x-1}{x^{2} + 1}$

Мы видим, что функция не равна исходной функции, и знаки не совпадают. Поэтому можно сделать вывод, что функция $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$ является нечетной.

Периодичность

Для определения периодичности функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$ мы должны проверить, существует ли такое число $p$, что $f(x+p) = f(x)$ для всех $x$.

Подставим $x+p$ вместо $x$ в функцию и сравним результаты:

$f(x+p) = \frac{(x+p)-1}{(x+p)^{2} + 1}$

$f(x) = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$

Мы видим, что функция не равна исходной функции для всех $x$, кроме особых случаев, и, следовательно, не является периодической.

Производная

Чтобы найти производную функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$, мы можем использовать правило дифференцирования частного функций.

Применим правило дифференцирования частного функций:

$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$

Где $u = x - 1$ и $v = x^{2} + 1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = 1$

$v' = 2x$

Теперь подставим значения в формулу для производной:

$\frac{d}{dx}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) = \frac{(1)(x^{2} + 1) - (x - 1)(2x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$

$\frac{d}{dx}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) = \frac{x^{2} + 1 - 2x^{2} + 2x}{(x^{2} + 1)^{2}}$

$\frac{d}{dx}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) = \frac{-x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}}$

Таким образом, производная функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$ равна $\frac{-x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}}$.

Максимум и Минимум функции

Чтобы найти максимум и минимум функции $y = \frac{x-1}{x^{2} + 1}$, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не определена, и проверить их на экстремумы с помощью второй производной.

Мы уже нашли производную функции в предыдущем разделе:

$\frac{d}{dx}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) = \frac{-x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}}$

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение:

$\frac{-x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} = 0$

$-x^{2} + 2x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Решив его, мы получаем два значения $x = -0.414$ и $x = 2.414$.

Теперь найдем вторую производную функции:

$\frac{d^{2}}{dx^{2}}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) = \frac{2(x^{4} - 6x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{3}}$

Подставим найденные значения $x$ во вторую производную и оценим знаки:

$\frac{d^{2}}{dx^{2}}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) \approx \frac{2((-0.414)^{4} - 6(-0.414)^{2} + 1)}{((-0.414)^{2} + 1)^{3}} \approx -0.323$

$\frac{d^{2}}{dx^{2}}(\frac{x - 1}{x^{2} + 1}) \approx \frac{2((2.414)^{4} - 6(2.414)^{2} + 1)}{((2.414)^{2} + 1)^{3}} \approx 0.323$

Мы видим, что вторая производная меняет знак в точках $x = -0.414$ и $x = 2.414$. Это означает, что функция имеет локальный минимум в точ