Question

Y=-x^2+4x-3 y=0 вычислите площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

Приравнять функции. получится квадратное уравнение. решить его, найти иксы. потом эти найденные иксы подставить в интеграл. то есть х1=1 х2=3. определенный интеграл будет от 1 до 3. подставить туда первую функцию. решить интеграл и подставить значения. ответ будет -2/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения друг к другу и решим уравнение:

0 = -x^2 + 4x - 3

Данное уравнение является квадратным. Решим его, используя квадратное уравнение или методы факторизации:

x^2 - 4x + 3 = 0

(x - 3)(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 3 и x = 1.

Теперь нам нужно найти соответствующие значения y для каждой из этих точек:

Подставим x = 3 в уравнение y = -x^2 + 4x - 3:

y = -(3)^2 + 4(3) - 3 y = -9 + 12 - 3 y = 0

Подставим x = 1 в уравнение y = -x^2 + 4x - 3:

y = -(1)^2 + 4(1) - 3 y = -1 + 4 - 3 y = 0

Обе точки имеют значение y = 0. Это значит, что фигура ограничена осью x в интервале [1, 3].

Теперь вычислим площадь фигуры, используя интеграл. Площадь между кривой и осью x на интервале [a, b] может быть вычислена следующим образом:

Площадь = ∫(от a до b) y dx

Так как у нас функции в виде y = -x^2 + 4x - 3 и y = 0, интеграл будет выглядеть так:

Площадь = ∫(от 1 до 3) (-x^2 + 4x - 3) dx

Теперь возьмем интеграл каждого слагаемого по отдельности:

∫(-x^2) dx = -(x^3)/3 ∫(4x) dx = 2x^2 ∫(-3) dx = -3x

Теперь вычислим определенный интеграл на интервале [1, 3]:

Площадь = -[(3^3)/3 - (1^3)/3] + 2(3^2 - 1^2) - 3(3 - 1) Площадь = -[27/3 - 1/3] + 2(9 - 1) - 3(2) Площадь = -[26/3] + 2(8) - 6 Площадь = -26/3 + 16 - 6 Площадь = -26/3 + 10 Площадь = -16/3 или около -5.33 квадратных единиц.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 4x - 3 и y = 0 на интервале [1, 3], составляет около -5.33 квадратных единиц. Заметьте, что значение отрицательное, что означает, что фигура находится ниже оси x. Если вас интересует абсолютное значение площади, просто возьмите модуль этого результата, чтобы получить положительное значение площади.