Question

Применение производной к построению графиков функции (max,min)f(x)=x³-3x²+4

Answer 1

Ответ:

вроде так .................

Answer 2

Для построения графика функции (max, min) f(x) = x³ - 3x² + 4, мы должны следовать нескольким шагам:

1. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
2. Найти значения функции в найденных критических точках и на концах интервала.
3. Определить интервалы возрастания и убывания функции.
4. Найти точки перегиба (точки, где вторая производная равна нулю или не существует).

Давайте начнем:

Шаг 1: Найдем производные функции f(x): f'(x) = d/dx (x³ - 3x² + 4) = 3x² - 6x

Шаг 2: Найдем критические точки: Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: 3x² - 6x = 0 Факторизуем: 3x(x - 2) = 0 Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания функции: Для этого используем таблицу знаков производной (f'(x)): x | -∞ | 0 | 2 | +∞ f'(x) | + | 0 | - | + f(x) | ↑ | - | max | ↑

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, 2). В точке x = 2, функция имеет локальный максимум.

Шаг 4: Найдем точки перегиба: Для этого найдем вторую производную функции: f''(x) = d/dx (3x² - 6x) = 6x - 6

Теперь приравняем f''(x) к нулю и найдем значения x: 6x - 6 = 0 6x = 6 x = 1

Таким образом, точка перегиба находится в x = 1.

Теперь у нас есть все необходимые данные для построения графика функции (max, min) f(x) = x³ - 3x² + 4:

1. Найденные критические точки: x = 0 и x = 2.
2. Точка перегиба: x = 1.
3. Интервалы возрастания и убывания: (-∞, 0) и (0, 2).
4. Функция имеет локальный максимум в точке x = 2.

Теперь давайте построим график функции f(x) = x³ - 3x² + 4 с учетом этих данных:

arduinoCopy code
       |        +-------------+       max
       |       /               \ 
  +----|------+                 +------- min
       |
  0    1      2               3

На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке (2, 2) и локальный минимум в точке (1, 2). Также можно заметить, что функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, 2).