Question

Много баллов. Решите 5 примеров пжжжжжжж(((( Найдите значение производной функции f(x) = sinX+cosX в точке X0=0 Найдите значение производной функции f(x)= (x^2-1) (x^3+x) X0=-1 Найдите значение производной функции f(x)=x/x^2+1 в точке X0=0 Найдите значение производной функции f(x)=xcosx в точке x0= Число Пи Найдите производную функции y=sin(x^2) в точке x=0

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Давайте решим каждый из примеров:

1. Найдите значение производной функции f(x) = sin(x) + cos(x) в точке x₀ = 0.

Для нахождения производной этой функции, применим правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx (sin(x) + cos(x)) f'(x) = cos(x) - sin(x)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = 0, подставим x = 0:

f'(0) = cos(0) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Ответ: Значение производной функции f(x) = sin(x) + cos(x) в точке x₀ = 0 равно 1.

2. Найдите значение производной функции f(x) = (x^2 - 1)(x^3 + x) в точке x₀ = -1.

Применим правила дифференцирования для нахождения производной:

f'(x) = d/dx[(x^2 - 1)(x^3 + x)] f'(x) = (2x)(x^3 + x) + (x^2 - 1)(3x^2 + 1)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = -1, подставим x = -1:

f'(-1) = (2(-1))((-1)^3 + (-1)) + ((-1)^2 - 1)(3(-1)^2 + 1) f'(-1) = (-2)(-2) + (1 - 1)(3 + 1) f'(-1) = 4 + 0 f'(-1) = 4

Ответ: Значение производной функции f(x) = (x^2 - 1)(x^3 + x) в точке x₀ = -1 равно 4.

3. Найдите значение производной функции f(x) = x/(x^2 + 1) в точке x₀ = 0.

Для нахождения производной, применим правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx [x/(x^2 + 1)] f'(x) = (1(x^2 + 1) - x(2x))/(x^2 + 1)^2 f'(x) = (x^2 + 1 - 2x^2)/(x^2 + 1)^2 f'(x) = (1 - x^2)/(x^2 + 1)^2

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = 0, подставим x = 0:

f'(0) = (1 - 0^2)/(0^2 + 1)^2 f'(0) = 1/1 f'(0) = 1

Ответ: Значение производной функции f(x) = x/(x^2 + 1) в точке x₀ = 0 равно 1.

4. Найдите значение производной функции f(x) = x*cos(x) в точке x₀ = π (Число Пи).

Для нахождения производной, применим правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx [xcos(x)] f'(x) = cos(x) + x(-sin(x)) f'(x) = cos(x) - x*sin(x)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = π (Число Пи), подставим x = π:

f'(π) = cos(π) - π*sin(π) f'(π) = -1 - 0 f'(π) = -1

Ответ: Значение производной функции f(x) = x*cos(x) в точке x₀ = π (Число Пи) равно -1.

5. Найдите производную функции y = sin(x^2) в точке x = 0.

Для нахождения производной, применим цепное правило дифференцирования:

y' = d/dx[sin(x^2)] y' = cos(x^2) * d/dx(x^2) y' = cos(x^2) * 2x

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x = 0, подставим x = 0:

y'(0) = cos(0^2) * 2(0) y'(0) = 1 * 0 y'(0) = 0

Ответ: Значение производной функции y = sin(x^2) в точке x = 0 равно 0.