Question

Помогите с тригонометрией. Решите, что сможете!1) cos(10+x)*sinx>sin(10+x)*cosx (доказать) 2)(sinx+cosx)^4+(sinx-cosx)^4=3-sin4x (имеется ввиду, что скобки в 4ой степени) 3)(cos в квадрате x )*(1+ctgx)-3/ (sinx-cosx)= 3cosx 4)4sinx-2cos2x-1/(cos2x+(корень из 3*cosx) - 2) =0 5)корень из(5sin2x-2) = sinx-cosx

Answer 1

сделал толькол второе задание. немного нестыковочка там

 

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочередно.

1) \( \cos(10+x)\sin x > \sin(10+x)\cos x \)

Раскроем произведения по формулам сложения: \[ \cos(10)\cos x \sin x + \sin(10)\sin x \cos x > \sin(10)\cos x \sin x + \cos(10)\sin x \cos x \]

Перегруппируем члены: \[ \cos(10)\cos x \sin x - \cos(10)\sin x \cos x > \sin(10)\cos x \sin x - \sin(10)\sin x \cos x \]

Вынесем общий множитель: \[ \cos(10)\sin x (\cos x - \sin x) > \sin(10)\sin x (\cos x - \sin x) \]

Теперь можем сократить на \((\cos x - \sin x)\) (предполагаем, что \(\cos x \neq \sin x\)): \[ \cos(10) > \sin(10)\sin x \]

Так как \(\sin(10) > 0\), можем разделить обе стороны на \(\sin(10)\): \[ \cos(10) > \sin x \]

2) \((\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4 = 3 - \sin(4x)\)

Раскроем степени: \[ (\sin^4 x + 4\sin^3 x \cos x + 6\sin^2 x \cos^2 x + 4\sin x \cos^3 x + \cos^4 x) + (\sin^4 x - 4\sin^3 x \cos x + 6\sin^2 x \cos^2 x - 4\sin x \cos^3 x + \cos^4 x) = 3 - \sin(4x) \]

Сократим подобные члены: \[ 2(\sin^4 x + 6\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 3 - \sin(4x) \]

Используем тригонометрическую тождественность \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ 2(1 - 4\sin^2 x \cos^2 x + 6\sin^2 x \cos^2 x) = 3 - \sin(4x) \]

Упростим: \[ 2(1 + 2\sin^2 x \cos^2 x) = 3 - \sin(4x) \]

Заметим, что \(2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x)\): \[ 2(1 + \frac{1}{2}\sin^2(2x)) = 3 - \sin(4x) \]

Упростим дальше: \[ 2 + \sin^2(2x) = 3 - \sin(4x) \]

Перенесем все на одну сторону: \[ \sin^2(2x) + \sin(4x) - 1 = 0 \]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(\sin(2x)\), поэтому можем использовать квадратную формулу для его решения.

3) \( \cos^2 x(1 + \cot x) - \frac{3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \)

Раскроем \(\cot x\) как \(\frac{\cos x}{\sin x}\): \[ \cos^2 x\left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right) - \frac{3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \]

Упростим выражение в скобках, умножив обе стороны на \(\sin x\): \[ \cos^2 x(\sin x + \cos x) - \frac{3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Соберем всё в одну дробь: \[ \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) - 3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{\cos^3 x \sin x - \cos^2 x \sin x \cos x + \cos^2 x \sin x \cos x - \cos^3 x - 3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Сократим подобные члены: \[ \frac{\cos^3 x \sin x - \cos^3 x - 3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Вынесем \(\cos^3 x\) из числителя: \[ \cos^3 x \frac{\sin x - 1}{\sin x - \cos x} - \frac{3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Соберем в общий знаменатель: \[ \frac{\cos^3 x (\sin x - 1) - 3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Факторизуем числитель: \[ \frac{\cos^3 x \sin x - \cos^3 x - \cos^3 x + 3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Сократим подобные члены: \[ \frac{\cos^3 x (\sin x - 1) - \cos^3 x + 3}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Вынесем \(\cos^3 x\) из числителя: \[ \cos^3 x \frac{\sin x - 1}{\sin x - \cos x} - \frac{1}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \]

Соберем в общий знаменатель: \[ \frac{\cos^3 x (\sin x - 1) - 1}{\sin x - \cos x} = 3\cos x \sin x \