Question

Реши систему уравнений. {5sinx+3cosy=2 4sinx+5cosy=3 (Полученные в ответе дроби не сокращать.) ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x=(−1)^n arcsin+πn,n∈ℤ y=±arccos+2πn,n∈ℤ Ответить! Смотреть ответ сначала, необходимо решить оба уравнения потом отбросить несовпадающие корни. как решать такие уравнения? 1 способ: из 1 уравнения sin(y)=(2-3cos(y))/5, подставляешь в основное тригонометрическое тождество, у тебя выходит: 25cos^2(y)+(2-3cos(y))^2=25 решаешь квадратное уравнение а все сорян, я неверно расписал, я не заметил что там 2 переменные 2ReCKey 2ReCKey вычитаем: k∈Z вычитаем: n∈Z Большое спасибо

Answer 1

Извините за предыдущую путаницу. Давайте решим систему уравнений по порядку.

Уравнение 1: 5sin(x) + 3cos(y) = 2 Уравнение 2: 4sin(x) + 5cos(y) = 3

Следуя вашему предложению, мы можем выразить sin(x) и подставить его во второе уравнение.

Уравнение 1: 5sin(x) + 3cos(y) = 2

Разделим оба выражения на sqrt(25+9) = sqrt(34): sin(x) / sqrt(34) + 3cos(y) / sqrt(34) = 2 / sqrt(34)

Уравнение 2: 4sin(x) + 5cos(y) = 3

Умножим оба выражения на sqrt(34): 4sin(x) * sqrt(34) + 5cos(y) * sqrt(34) = 3 * sqrt(34)

Теперь мы можем выразить sin(x): sin(x) = (2 / sqrt(34)) - (3cos(y) / sqrt(34))

Подставим это значение во второе уравнение: 4((2 / sqrt(34)) - (3cos(y) / sqrt(34))) + 5cos(y) = 3

Раскроем скобки и приведем подобные члены: (8 / sqrt(34)) - (12cos(y) / sqrt(34)) + 5cos(y) = 3

Теперь приведем все cos(y) к одной стороне: (5cos(y) - 12cos(y)) / sqrt(34) = 3 - (8 / sqrt(34))

Выполним вычисления: -7cos(y) / sqrt(34) = (3sqrt(34) - 8) / sqrt(34)

Домножим обе части на sqrt(34) и перенесем -7cos(y) на одну сторону: -7cos(y) = 3sqrt(34) - 8

Теперь найдем значение cos(y): cos(y) = (8 - 3sqrt(34)) / 7

Теперь, чтобы найти x, мы можем использовать значение sin(x), которое мы выразили ранее: sin(x) = (2 / sqrt(34)) - (3cos(y) / sqrt(34))

Подставим значение cos(y) и продолжим вычисления: sin(x) = (2 / sqrt(34)) - (3((8 - 3sqrt(34)) / 7) / sqrt(34))

Выполним вычисления: sin(x) = (2 / sqrt(34)) - (24 - 9sqrt(34)) / (7sqrt(34))

Упростим: sin(x) = (2 - 24 + 9sqrt(34)) / (7sqrt(34))

Итак, мы получили значения sin(x) и cos(y). Теперь мы можем найти x и y, используя обратные функции тригонометрии.

x = arcsin(sin(x)) x = arcsin((2 - 24 + 9sqrt(34)) / (7sqrt(34)))

y = arccos(cos(y)) y = arccos((8 - 3sqrt(34)) / 7)

Отметим, что здесь n является целым числом, которое может принимать различные значения, и каждое значение n даст нам новый корень системы уравнений. Вы можете использовать это решение, чтобы получить все корни системы уравнений.

Надеюсь, это поможет! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.