Question

Решить не используя правило Лопиталя.(без производной) lim x>0 (1-cos3x)/(5x^2)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

по следствию из замечательного предела

lim (1-cosx)/(x²/2)=1

x->0

lim (1-cos3x)/(5x^2)=(1/5)lim(9/2)(1-cos3x)/(3x)²/2=

x->0                                 x->0

=0,2*4,5lim(1-cos3x)/(3x)²/2=/обозначим 3x=y/ =

             x->0

=0,9lim(1-cosy)/(y²/2)=0,9

     y->0

Answer 2

Чтобы решить этот предел без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством:

cos(3x) = 1 - 2sin²(3x).

Заменим это тождество в исходном пределе:

lim x->0 (1 - cos(3x))/(5x²) = lim x->0 (1 - (1 - 2sin²(3x)))/(5x²) = lim x->0 (2sin²(3x))/(5x²).

Теперь мы можем разложить числитель в ряд Тейлора вокруг x = 0:

sin²(3x) = (3x)²/2! - (3x)⁴/4! + (3x)⁶/6! - ...

Теперь заменим это разложение обратно в пределе:

lim x->0 (2sin²(3x))/(5x²) = lim x->0 (2((3x)²/2! - (3x)⁴/4! + (3x)⁶/6! - ...))/(5x²).

Теперь упростим этот предел:

lim x->0 (2((3x)²/2! - (3x)⁴/4! + (3x)⁶/6! - ...))/(5x²) = lim x->0 ((2/2!) * (3x)² - (2/4!) * (3x)⁴ + (2/6!) * (3x)⁶ - ...)/(5x²) = lim x->0 ((2/2!) * 9x² - (2/4!) * 81x⁴ + (2/6!) * 729x⁶ - ...)/(5x²) = lim x->0 (9/2 - (81/4!) * x² + (729/6!) * x⁴ - ...)/(5).

Теперь подставим x = 0 в этот предел:

lim x->0 (9/2 - (81/4!) * x² + (729/6!) * x⁴ - ...)/(5) = (9/2)/(5) = 9/10.

Таким образом, предел равен 9/10.