Question

Коренями рівняння x²+px+21=0 є додатні числа, одне з яких на 4 більше від іншого. Знайдіть ці корені та коефіцієнт p

Answer 1

x₁ = m; x₂ = m + 4.

Скориставшисть т. Вієта, маємо рівняння:

m(m + 4) = 21;

m² + 4m - 21 = 0;

m₁ = 3; m₂ = -7 - не задовольняє умову задачі.

Отже, x₁ = 3; x₂ = 3 + 4 = 7; p = -(x₁ + x₂) = -(3 + 7) = -10.

Відповідь: x₁ = 3; x₂ = 7; p = -10.

Answer 2

Давайте знайдемо корені рівняння спочатку, а потім визначимо коефіцієнт p.

Рівняння має загальний вигляд: ax² + bx + c = 0.

У нашому випадку, a = 1, b = p, c = 21.

Знаходимо дискримінант (D) за формулою D = b² - 4ac:

D = p² - 4 * 1 * 21 = p² - 84.

Оскільки корені є додатні числа, то D > 0.

Також, за умовою задачі, один корінь є на 4 більший від іншого. Позначимо корені як x₁ та x₂, де x₁ > x₂.

Тоді маємо систему рівнянь:

1. x₁ + x₂ = -p (згідно з формулою суми коренів, де p - це коефіцієнт при x в оригінальному рівнянні).
2. x₁ * x₂ = 21 (згідно з формулою добутку коренів).

Ми також знаємо, що x₁ = x₂ + 4.

Підставимо x₁ = x₂ + 4 у перше рівняння:

(x₂ + 4) + x₂ = -p.

2x₂ + 4 = -p.

Тепер підставимо це значення у друге рівняння:

(x₂ + 4) * x₂ = 21.

x₂² + 4x₂ - 21 = 0.

Тепер знайдемо значення x₂ за допомогою квадратного рівняння:

x₂ = (-4 ± √(4² - 4 * 1 * (-21))) / 2.

x₂ = (-4 ± √(16 + 84)) / 2.

x₂ = (-4 ± √100) / 2.

x₂ = (-4 ± 10) / 2.

Таким чином, маємо два варіанти:

1. x₂ = (10 - 4) / 2 = 6 / 2 = 3.

2. x₂ = (-10 - 4) / 2 = -14 / 2 = -7.

Оскільки x₁ > x₂, обираємо x₂ = 3 та знаходимо x₁:

x₁ = x₂ + 4 = 3 + 4 = 7.

Таким чином, корені рівняння x² + px + 21 = 0: x₁ = 7 та x₂ = 3.

Тепер знайдемо коефіцієнт p:

p = - (x₁ + x₂) = - (7 + 3) = -10.

Отже, корені рівняння - 7 та 3, а коефіцієнт p = -10.