Question

Яка потужнiсть множини всiх монотонних функцiй на вiдрiзку [a; b] (не лише неперервних)?

Answer 1

Континуум.

Можна розглянути сталі функції, у=С, де С - деяке дійсне число. Всі такі функціі неперервні і їх континуум. Тож цього достатьно

Answer 2

Потужність множини всіх монотонних функцій на відрізку [a; b] може бути величезною. Зауважте, що існує безліч різних монотонних функцій на будь-якому відрізку. Можна розглянути два прості приклади: функцію, яка завжди повертає постійне значення (тобто функція, яка є константою), і функцію, яка збільшує своє значення з кожним кроком.

Отже, неможливо точно визначити потужність цієї множини без додаткових обмежень на клас монотонних функцій, таких як неперервність, диференційовність або інші властивості. Без цих обмежень потужність множини всіх монотонних функцій на відрізку [a; b] є невизначеною, або, точніше кажучи, вона дорівнює безлічі.