Question

доведіть, що вираз приймає додатних значень при будь яких значеннях змінних: 2x^2-6xy+4x+9y^2+6 ооочень срочно ​

Answer 1

$2x^2-6xy+4x+9y^2+6=x^2-6xy+9y^2+x^2+4x+4+2=\\ \\ =(x-3y)^2+(x+2)^2+2>0$

Видим, что неравенство верно для всех значений x,y.

Answer 2

Объяснение:

$2x^2-6xy+4x+9y^2+6=(x^2-6xy+9y^2)+(x^2+4x+4)+2=\\\\=\underbrace {(x-3y)^2}_{\geq 0}+\underbrace {(x+2)^2}_{\geq 0}+\underbrace {2}_{>0}>0\\\\\\(x-3y)^2\geq 0\; \; \; \; pri\; \; \; \; x,y\in R\\\\(x+2)^2\geq 0\; \; \; pri\; \; \; x\in R\\\\2>0$

Сумма двух неотрицательных и одного положительного выражений будет давать положительное выражение при любых значениях переменных.

Answer 3

Для доведення того, що вираз $2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6$ приймає додатні значення при будь-яких значеннях змінних $x$ та $y$, ми маємо дослідити його поведінку. Оскільки це квадратичний вираз, ми можемо скористатися методом завершення квадрату, щоб представити його у більш зручному вигляді.

Розглянемо вираз $2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6$:

$2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6$

Згрупуємо перші три доданки та останні два:

$(2x^2 - 6xy + 4x) + (9y^2 + 6)$

Тепер, ми можемо завершити квадрат для першої дужки, додавши та віднімаючи підходяще значення:

$(2x^2 - 6xy + 4x) = 2(x^2 - 3xy + 2x)$

Тепер, для того, щоб завершити квадрат у дужці, нам потрібно додати та відняти квадрат з половини коефіцієнта перед $y$, тобто $(-3/2)^2 = 9/4$:

$2(x^2 - 3xy + 2x) = 2[(x^2 - 3xy + (9/4)) - (9/4) + 2x]$

Тепер ми можемо переписати весь вираз:

$2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6 = 2[(x^2 - 3xy + (9/4)) - (9/4) + 2x] + (9y^2 + 6)$

Тепер ми можемо спростити дужки:

$2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6 = 2(x - 3/2)^2 + 9y^2 + 6 - 9/2$

Далі, давайте спростимо вираз $9y^2 + 6 - 9/2$:

$9y^2 + 6 - 9/2 = 9y^2 + 12/2 - 9/2 = 9y^2 + 3/2$

Тепер наш вираз стає:

$2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6 = 2(x - 3/2)^2 + 9y^2 + 3/2$

Тепер давайте розглянемо значення виразу $2(x - 3/2)^2$ і $9y^2 + 3/2$:

1. $2(x - 3/2)^2$: Квадрат не може бути від'ємним, тому цей вираз буде невід'ємним.

2. $9y^2 + 3/2$: Також від'ємне значення $y^2$ не може зробити весь вираз від'ємним.

Отже, обидва доданки $2(x - 3/2)^2$ та $9y^2 + 3/2$ є додатніми або нульовими.

Таким чином, ми довели, що весь вираз $2x^2 - 6xy + 4x + 9y^2 + 6$ приймає додатні або нульові значення при будь-яких значеннях змінних $x$ та $y$.