Question

Доведіть, що вираз p(x;y) при будь-яких значеннях змінних приймає додатне значення: (розписувати) 1)p(x;y)=(xy+3)(2xy-4)-2(xy-7) 2)p(x;y)=(2x^2-y)(3x+y^2)+(3(xy+2)+y^3-6x^3

Answer 1

$1) p(x,y)=(xy+3)(2xy-4)-2(xy-7)=2x^2y^2-4xy+6xy-12-2xy+14=2x^2y^2+2$

Оскільки $x^2>=0, y^2>=0$ при будь-яких x та y відповідно, то $2x^2y^2>=0$ при будь-яких x та у. Тому $2x^2y^2+2>0.$

$2) p(x,y)=(2x^2-y)(3x+y^2)+(3(xy+2)+y^3-6x^3)=6x^3+2x^2y^2-3xy-y^3+3xy+6+y^3-6x^3=2x^2y^2+6.$

Пояснення аналогічне першому випадку.

Answer 2

Давайте розглянемо обидва вирази і доведемо, що вони завжди приймають додатне значення.

1. Розглянемо вираз: p(x, y) = (xy + 3)(2xy - 4) - 2(xy - 7)

Розгорнемо дужки і згрупуємо подібні члени:

p(x, y) = 2x^2y^2 - 4xy + 6xy - 12 - 2xy + 14

Тепер просумуємо всі члени:

p(x, y) = 2x^2y^2

2x^2y^2 завжди є додатнім значенням, оскільки квадрат будь-яного числа є додатним значенням, та цей вираз не залежить від конкретних значень x і y. Отже, p(x, y) завжди приймає додатне значення.

2. Розглянемо вираз: p(x, y) = (2x^2 - y)(3x + y^2) + (3(xy + 2) + y^3 - 6x^3)

Розгорнемо дужки і згрупуємо подібні члени:

p(x, y) = 6x^3 - xy^2 + 2x^2y - y^4 + 3xy + 6 + y^3 - 6x^3

Тепер просумуємо всі члени:

p(x, y) = -xy^2 + 2x^2y + 3xy + 6 + y^3

Всі члени виразу p(x, y) містять множники x і y. Таким чином, вираз завжди буде додатнім, оскільки множники x і y можуть бути додатними (позитивними) або негативними, але добуток додатнього і додатнього, або негативного і негативного чисел завжди є додатнім. Також всі інші доданки в цьому виразі не впливають на знак результату, оскільки вони є константами або степенями змінних.

Отже, вираз p(x, y) завжди приймає додатне значення.