Question

Доведіть, що вираз (2x⁶-4x²-2)-(x-x²-3)+(3x²+x) набуває додатних значень при будь-яких значеннях х. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

Answer 1

Ответ:

відкрий картинку, там все пояснення

Answer 2

Давайте спростимо заданий вираз та розглянемо, як він поводиться для будь-яких значень \(x\):

\[ (2x^6 - 4x^2 - 2) - (x - x^2 - 3) + (3x^2 + x) \]

Розпочнемо зі спрощення:

\[ 2x^6 - 4x^2 - 2 - x + x^2 + 3 + 3x^2 + x \]

Згрупуємо подібні члени:

\[ 2x^6 + x^2 + 3x^2 - 4x^2 - x + x - 2 + 3 \]

\[ 2x^6 + x^2 + 3x^2 - 4x^2 + 0 + 1 \]

\[ 2x^6 + x^2 - x^2 + 1 \]

\[ 2x^6 + 1 \]

Цей вираз завжди залишається додатнім для будь-якого значення \(x\), оскільки квадратний член \(x^6\) завжди буде не менше 0, а константа 1 також додає додатню величину.

Отже, вираз \(2x^6 + 1\) набуває додатних значень при будь-яких значеннях \(x\).

Щодо найменшого значення цього виразу, враховуючи, що \(2x^6 + 1\) завжди більше або рівне 1, мінімальне значення досягається, коли \(2x^6 = 0\), що відбувається при \(x = 0\). Таким чином, найменше значення виразу \(2x^6 + 1\) дорівнює 1 і досягається при \(x = 0\).