Question

Доведіть, що вираз x^2 - 6х + 11 набуває лише додатних значень при всіх значеннях х. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х? Допоможіть будь-ласочка ❤️

Answer 1

Ответ:нижче

Объяснение:

Щоб визначити, чи набуває вираз x^2 - 6х + 11 лише додатні значення, необхідно розв'язати рівняння x^2 - 6х + 11 > 0.
Розв'язуємо це рівняння за допомогою розкладу на множники.(x - a)(x - b) > 0, де a і b - корені рівняння.

Вираз набуває додатних значень, якщо або обидва множники додатні, або обидва множники від'ємні.Замінюємо x^2 - 6х + 11 на (x - a)(x - b) і розв'язуємо рівняння:(x - 2)(x - 5) > 0

Розкладаємо умову на дві частини:x < 2 або x > 5

Таким чином, вираз x^2 - 6х + 11 набуває лише додатних значень при всіх значеннях х, що знаходяться в множині від'ємних чисел і чисел, більших п'яти.

Найменше значення, яке набуває цей вираз, рівне нулю, і це значення набувається при х = 2.

Answer 2

Щоб довести, що вираз $x^2 - 6x + 11$ набуває лише додатних значень для всіх значень $x$, ми можемо скористатися поняттям "вершини" параболи. Зауважимо, що цей вираз представляє собою квадратичну функцію у вигляді $f(x) = ax^2 + bx + c$, де $a = 1$, $b = -6$ і $c = 11$.

Вираз $x^2 - 6x + 11$ є параболою, яка відкривається вгору, оскільки $a > 0$. Вершина параболи має вигляд $(h, k)$, де $h$ - координата $x$ вершини, а $k$ - значення функції $f(x)$ в вершині.

Знаходження вершини параболи можна здійснити за формулами: $h = -\frac{b}{2a}$ $k = f(h)$

Підставляючи значення $a = 1$ і $b = -6$ у формули, отримуємо: $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$

Таким чином, вершина параболи знаходиться у точці $(3, 2)$.

Оскільки парабола відкривається вгору, це означає, що значення функції $f(x)$ більше за $k$ для будь-якого значення $x$.

Тому вираз $x^2 - 6x + 11$ набуває лише додатних значень для всіх значень $x$.

Щодо найменшого значення, то ми вже знайшли, що вершина параболи має координати $(3, 2)$, і значення функції $f(x)$ в цій точці дорівнює 2. Таким чином, найменше значення, яке набуває цей вираз, це 2, і воно досягається при $x = 3$.