Question

Пожалуйста очень нужно! Решите неравенство : 5^(х+2/х)-1/2*10^(х+1/х)+2^(1/х)-5^(1/х) > 0

Answer 1

$\displaystyle 5^\big{\frac{x+2}{x}}-\frac{1}{2}\cdot 10^\big{\frac{x+1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}>0$

Во втором слагаемом применим свойство степени $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

$>0\\ \\ 5^\big{\frac{x+2}{x}}-\frac{1}{2}\cdot 5^\big{\frac{x+1}{x}}\cdot 2^\big{\frac{x+1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}>0\\ \\ 5\cdot 5^\big{\frac{2}{x}}-5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}\cdot 2^\big{\frac{1}{x}}+2^\big{\frac{1}{x}}-5^\big{\frac{1}{x}}>0$

$5^\big{\frac{1}{x}}\left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)-2^\big{\frac{1}{x}}\left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)>0\\ \\ \left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)\left(5^\big{\frac{1}{x}}-2^\big{\frac{1}{x}}\right)>0$

$\left(5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1\right)\left(5^\big{\frac{1}{x}}-2^\big{\frac{1}{x}}\right)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.

$5\cdot 5^\big{\frac{1}{x}}-1=0~~~\Rightarrow~~5^\big{\frac{1}{x}}=5^{-1}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{x}=-1~~~\Rightarrow~~~ x=-1\\ \\ 5^\big{\frac{1}{x}}-2^\big{\frac{1}{x}}=0~~\Rightarrow~~~ \left(\dfrac{5}{2}\right)^\big{\frac{1}{x}}=1~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{1}{x}=0~~\Rightarrow~~ \oslash$

Также заметим, что x ≠ 0.

$x \in (-1;0)\cup(0;+\infty).~~~-\mathbb{OTBET}$

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала приведем все слагаемые к общему знаменателю и упростим его. Затем приведем подобные слагаемые и преобразуем неравенство к более простому виду. Давайте выполним шаги по порядку:

1. Общий знаменатель для всех слагаемых: х*х

2. Приведем слагаемые к общему знаменателю:

(5^(х + 2/х))/(хх) - (1/2)(10^(х + 1/х))/(хх) + 2^(1/х)/(хх) - 5^(1/х)/(х*х) > 0

3. Упростим слагаемые:

(5^(х + 2)/х^2) - (10^(х + 1)/2х^2) + 2^(1/х)/х^2 - 5^(1/х)/х^2 > 0

4. Приведем подобные слагаемые:

(5^(х + 2) - 10^(х + 1) + 2^(1/х) - 5^(1/х))/х^2 > 0

5. Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

• 5^(х + 2) - это растет экспоненциально с ростом х.
• 10^(х + 1) также растет экспоненциально, но с большим множителем, чем 5^(х + 2).
• 2^(1/х) - это убывает с ростом х, так как х в знаменателе, и при увеличении х значения уменьшаются.
• 5^(1/х) убывает с ростом х по тем же причинам, что и 2^(1/х).

6. Смотря на слагаемые, видим, что наша функция будет менять свой знак в следующих точках:

• В окрестности отрицательных бесконечностей (когда х стремится к -∞).
• При х=0 (здесь у нас проблема, так как знаменатель становится нулем).
• В окрестности положительных бесконечностей (когда х стремится к +∞).

Чтобы решить неравенство, нам нужно определить, когда функция больше нуля и когда меньше нуля. Поскольку у нас нет точного значения для х=0, мы должны исключить его из области решений.

Таким образом, решением неравенства будет интервал, где функция больше нуля:

• (отрицательная бесконечность) < х < 0
• х > 0

Окончательный ответ:

(отрицательная бесконечность) < х < 0 или х > 0