Question

Найдите наибольшее значение выражения: -13y^2-20yz-25z^2-24z-12

Answer 1

Попробуем повыделять полные квадраты:

$-(13y^2+20yz+25z^2+24z+12)=-((y\sqrt{13})^2+2\cdot y\sqrt{13}\cdot \dfrac{10}{\sqrt{13}}z+\dfrac{100}{13}z^2-\\-\dfrac{100}{13}z^2+25z^2+24z+12)=-((y\sqrt{13}+\dfrac{10}{\sqrt{13}}z)^2+\dfrac{225}{13}z^2+24z+12)=\\=-((y\sqrt{13}+\dfrac{10}{\sqrt{13}}z)^2+(\dfrac{15}{\sqrt{13}}z)^2+2\cdot \dfrac{15}{\sqrt{13}}z\cdot \dfrac{4\sqrt{13}}{5}+\dfrac{208}{25}-\dfrac{208}{25}+12)=\\=-((y\sqrt{13}+\dfrac{10}{\sqrt{13}}z)^2+(\dfrac{15}{\sqrt{13}}z+\dfrac{4\sqrt{13}}{5})^2+\dfrac{92}{25})$

Так как квадрат чего-либо всегда неотрицателен, выражение в скобках не меньше 92/25 = 3,68. Значит, максимально возможное значение всего выражения равно -3,68. Оно достигается, если каждый квадрат равен нулю. Посмотрим, возможна ли эта ситуация:

$\dfrac{15}{\sqrt{13}}z+\dfrac{4\sqrt{13}}{5}=0\\z=-\dfrac{4\sqrt{13}}{5}\cdot \dfrac{\sqrt{13}}{15}=-\dfrac{52}{75}$

$y\sqrt{13}+\dfrac{10}{\sqrt{13}}z=y\sqrt{13}-\dfrac{8\sqrt{13}}{15}=0\\y=\dfrac{8}{15}$

Раз существуют такие y и z, то максимальное значение достигается.

Ответ: -3,68

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение данного выражения, нужно определить, какие значения переменных y и z приведут к максимальному результату.

Первый шаг — преобразовать выражение:

-13y^2 - 20yz - 25z^2 - 24z - 12

Теперь рассмотрим выражение -13y^2 - 20yz - 25z^2. Это квадратичное выражение, которое можно представить в виде квадратного трёхчлена. Найдем его вершину, которая представляет собой точку, где значение функции достигает максимума или минимума.

Для квадратного трёхчлена вида ay^2 + by + c вершина находится в точке y = -b/(2a).

В нашем случае a = -13, b = -20, и c = -25. Подставим значения:

y = -(-20) / (2 * (-13)) = 20 / 26 ≈ 0.7692

Теперь найдем соответствующее значение z, чтобы получить максимальное значение всего выражения. Вершина параболы z^2 - 24z имеет формула z = -b/(2a), где a = 1 и b = -24:

z = -(-24) / (2 * 1) = 24 / 2 = 12

Теперь, когда мы нашли значения y ≈ 0.7692 и z = 12, подставим их в исходное выражение:

-13 * (0.7692)^2 - 20 * 0.7692 * 12 - 25 * 12^2 - 24 * 12 - 12

Далее, произведем вычисления:

-13 * 0.5917 - 20 * 9.2304 - 25 * 144 - 288 - 12 ≈ -7.6911

Таким образом, наибольшее значение выражения равно приблизительно -7.6911, когда y ≈ 0.7692 и z = 12.