Question

Найдите коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (5+2х)^4

Answer 1

Ответ: 160

$(5+2x)^4$

Исходя из формул для биноминальных разложений:

$></p> <p>В данном случае <img src=$.

При $b^3$ коэффициент равен $4a$.

Вычислим:

$5\cdot 4=20$

Теперь сам $b^3$:

$(2x)^3=8x^3$

Коэффициент тут равен $8$.

Перемножим: $8\cdot 20 = 160$

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении (5 + 2x)^4, нам понадобится формула для коэффициента биномиального разложения:

C(n, k) * a^(n-k) * b^k

где: C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k элементов (n выбираемых из k), также известное как биномиальный коэффициент. a и b - числа, которые возводятся в степень n-k и k соответственно. n - степень бинома (в данном случае 4).

В данном разложении a = 5 и b = 2x.

Теперь, для коэффициента при x^3 нам нужно найти все комбинации, где степень x равна 3:

C(4, 3) * 5^(4-3) * (2x)^3

Рассчитаем:

C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4 5^(4-3) = 5^1 = 5 (2x)^3 = 2^3 * x^3 = 8x^3

Теперь умножим все значения вместе:

4 * 5 * 8x^3 = 160x^3

Итак, коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (5 + 2x)^4 равен 160.