Question

- Найдите корни уравнения:1) cos2 2х - sin2 2x = 0,5;​

Answer 1

$\cos^{2} (2x) - \sin^{2} (2x) = 0.5 \\ \cos(4x) = \frac{1}{2}$

1 случай:

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

2 случай:

$4x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \\ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

cos^2(2x) - sin^2(2x) = 0.5

Используем тригонометрические тождества:

cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x)) = 0.5

Раскроем скобки:

cos^2(2x) - 1 + cos^2(2x) = 0.5

2cos^2(2x) - 1 = 0.5

2cos^2(2x) = 1.5

cos^2(2x) = 0.75

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

cos(2x) = ±√(0.75)

cos(2x) = ±0.866

Теперь найдем значения угла, для которых косинус равен ±0.866. Мы знаем, что cos(30°) = 0.866, поэтому:

2x = 30° или 2x = 150°

Также, учитывая периодичность тригонометрической функции, можем добавить 360° к обоим углам:

2x = 30° + 360° = 390° или 2x = 150° + 360° = 510°

Теперь разделим оба уравнения на 2:

x = 15° или x = 195°

x = 75° или x = 255°

Таким образом, корни уравнения cos^2(2x) - sin^2(2x) = 0.5 равны: x = 15°, x = 75°, x = 195° и x = 255°.