Question

Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені рівняння належать вказаній множині : 4x^2-(3a+1)x-a-2=0 ; [-1;2) помогите пожалуйста

Answer 1

4х²-(3а+1)х-а-2=0

Нам потрібні корені, тому

D≥ 0

Вітки параболи напрямлені вгору, тому

f(-1)≥0

f(2)>0

хв>-1

xв<2

Це все в систему.

1.(3а+1)²+16(а+2)≥0

2.4+3a+1-a-2≥0

3.16-2(3a+1)-a-2<0

4.

$\frac{3a + 1}{8} > - 1$

5.

$\frac{3a + 1}{8} < 2$

1. 9а²+6а+1+16а+32≥0

9a²+22a+33≥0

Дискримінант менше нуля, тому ця умова виконується при будь-якому а.

2. 4+2а+1-2≥0

2a≥-3

a≥-1.5

3. 16-6a-2-a-2<0

-7a<-12

a>-12/7

4.3a+1>-8

3a>-9

a>-3

5.3a+1<16

3a<15

a<5

Об'єднуємо проміжки

Відповідь: а є [-1.5;5).

Если будут вопросы - обращайтесь:)

Отметьте, пожалуйста, как лучший ответ, если не сложно ❤️

Answer 2

Щоб знайти значення параметра a, при яких корені рівняння належать вказаній множині [-1, 2), ми можемо скористатися критерієм Діксона. За цим критерієм, корені рівняння будуть належати вказаному інтервалу, якщо коефіцієнти перед ними у рівнянні матимуть однаковий знак.

Запишемо дане рівняння: 4x^2 - (3a + 1)x - a - 2 = 0

Знаки коефіцієнтів перед коренями будуть залежати від значення параметра a. Перевіримо знаки для кожного кореня окремо:

1. Перший корінь x1: Коефіцієнт перед x^2 додатній (4 > 0), тому знак першого кореня буде такий самий, як і коефіцієнт перед x (-3a - 1). Якщо a відповідає інтервалу [-1, 2), то -3a - 1 < 0.

-3a - 1 < 0 -3a < 1 a > -1/3

Таким чином, значення параметра a мають задовольняти нерівність a > -1/3.

2. Другий корінь x2: Коефіцієнт перед x^2 додатній (4 > 0), тому знак другого кореня буде такий самий, як і коефіцієнт виразу (-a - 2). Якщо a відповідає інтервалу [-1, 2), то -a - 2 < 0.

-a - 2 < 0 -a < 2 a > -2

Таким чином, значення параметра a мають задовольняти нерівність a > -2.

Отже, знайдемо перетин інтервалів, які задовольняють обидві нерівності: a > -1/3 та a > -2.

Мінімальне значення для a буде максимальним значенням з цих двох нерівностей: a > -1/3 та a > -2.

Оскільки a має задовольняти обидві нерівності, ми беремо більше значення з них, тобто a > -1/3.

Таким чином, всі значення параметра a, при яких корені рівняння належать вказаній множині [-1, 2), це a > -1/3.