Question

Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені рівняння належать вказаній множині : 4x^2-(3a+1)x-a-2=0 ; [-1;2)

Answer 1

4х²-(3а+1)х-а-2=0

Нам потрібні корені, тому

D≥ 0

Вітки параболи напрямлені вгору, тому

f(-1)≥0

f(2)>0

хв>-1

xв<2

Це все в систему.

1.(3а+1)²+16(а+2)≥0

2.4+3a+1-a-2≥0

3.16-2(3a+1)-a-2<0

4.

$\frac{3a + 1}{8} > - 1$

5.

$\frac{3a + 1}{8} < 2$

1. 9а²+6а+1+16а+32≥0

9a²+22a+33≥0

Дискримінант менше нуля, тому ця умова виконується при будь-якому а.

2. 4+2а+1-2≥0

2a≥-3

a≥-1.5

3. 16-6a-2-a-2<0

-7a<-12

a>-12/7

4.3a+1>-8

3a>-9

a>-3

5.3a+1<16

3a<15

a<5

Об'єднуємо проміжки

Відповідь: а є [-1.5;5).

Если будут вопросы - обращайтесь:)

Отметьте, пожалуйста, как лучший ответ, если не сложно ❤️

Answer 2

Щоб знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені рівняння належать вказаній множині [-1; 2), спочатку знайдемо дискримінант рівняння і після цього зробимо висновок про корені на основі умови.

Дискримінант (D) квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0 обчислюється за формулою: D = b^2 - 4ac.

Застосуємо це до нашого рівняння: 4x^2 - (3a + 1)x - a - 2 = 0.

Таким чином, a = 4, b = -(3a + 1), і c = -(a + 2).

Дискримінант (D) нашого рівняння становить:

D = (-(3a + 1))^2 - 4 * 4 * (-(a + 2)) D = (9a^2 + 6a + 1) - (-16a - 32) D = 9a^2 + 6a + 1 + 16a + 32 D = 9a^2 + 22a + 33

Тепер, корені рівняння належать множині [-1; 2), коли D > 0 (два різних корені), і корені рівняння лежать в межах [-1; 2), тобто корені належать вказаній множині.

Умова коренів вказаного інтервалу [-1; 2) - це -1 ≤ x ≤ 2.

Таким чином, у нас є дві умови:

1. D > 0
2. -1 ≤ x ≤ 2

Застосуємо першу умову:

D = 9a^2 + 22a + 33 > 0

Тепер розв'яжемо нерівність для знаходження діапазонів значень параметра a:

9a^2 + 22a + 33 > 0

Для спрощення розглянемо цю нерівність, ми помітимо, що усі коефіцієнти додатні. Оскільки ми шукаємо значення a, для яких ця нерівність виконується, ми можемо скористатися фактом, що дискримінант від'ємний для тих a, які не задовольняють нерівності D > 0.

Таким чином, D < 0:

9a^2 + 22a + 33 < 0

Тепер розв'яжемо цю нерівність:

a = (-b ± √D) / (2a)

a = (-(22) ± √(22^2 - 4 * 9 * 33)) / (2 * 9)

a = (-22 ± √(484 - 1188)) / 18

a = (-22 ± √(-704)) / 18

Тут ми помітимо, що дискримінант від'ємний (-704 < 0), що означає, що немає дійсних значень a, які задовольняють нерівності D > 0, тобто рівняння не має двох різних коренів, які б належали множині [-1; 2).

Таким чином, рівняння 4x^2 - (3a + 1)x - a - 2 = 0 не має жодних значень параметра a, при яких обидва корені належали б множині [-1; 2).