Question

Решите неравенство x^2-x-2 2x^2-15x+15 < 0

Answer 1

$\frac{x^2-x-2}{2x^2-15x+15}$

Мы знаем наши нули числителя и ограничения дроби

Решение будет являться промежуток x∈(-1;2) и теперь учитываем ограничения :

x∈(-1;2)\{$\frac{15+-\sqrt{105} }{4}$}

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать метод интервалов.

1. Начнем с факторизации каждого квадратного выражения: x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) 2x^2 - 15x + 15 = (x - 1)(2x - 15)

2. Теперь мы можем записать неравенство в виде: (x - 2)(x + 1)(x - 1)(2x - 15) < 0

3. Найдем значения x, при которых каждое из этих множителей равно нулю и построим соответствующую числовую прямую: x - 2 = 0 => x = 2 x + 1 = 0 => x = -1 x - 1 = 0 => x = 1 2x - 15 = 0 => x = 15/2 = 7.5

   markdownCopy code
             -∞    -1    1    2    7.5    +∞
   

4. Теперь возьмем по одной точке из каждого интервала и проверим знак неравенства внутри этого интервала.

   Для интервала (-∞, -1): Подставим x = -2: (-2 - 2)(-2 + 1)(-2 - 1)(2(-2) - 15) = (-4)(-1)(-3)(-19) = 228 Знак положительный (+)

   Для интервала (-1, 1): Подставим x = 0: (0 - 2)(0 + 1)(0 - 1)(2(0) - 15) = (-2)(1)(-1)(-15) = 30 Знак положительный (+)

   Для интервала (1, 2): Подставим x = 1.5: (1.5 - 2)(1.5 + 1)(1.5 - 1)(2(1.5) - 15) = (-0.5)(2.5)(0.5)(-12) = 7.5 Знак положительный (+)

   Для интервала (2, 7.5): Подставим x = 5: (5 - 2)(5 + 1)(5 - 1)(2(5) - 15) = (3)(6)(4)(-5) = -360 Знак отрицательный (-)

   Для интервала (7.5, +∞): Подставим x = 10: (10 - 2)(10 + 1)(10 - 1)(2(10) - 15) = (8)(11)(9)(5) = 3960 Знак положительный (+)

5. Из результатов проверки знаков в каждом интервале, мы видим, что неравенство выполняется только в интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (7.5, +∞).

Таким образом, решением неравенства x^2 - x - 2 < 2x^2 - 15x + 15 является: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (7.5, +∞)