Question

на соревнованиях по стрельбе учавствуют три спортсмена. Вероятность попадания в мишень первым спортсменом равна - 0,3, вторым - 0,8, третьим - 0,5. Один из них выстрелил по мишени и поразил ее. Найдите вероятность того что по мишени выстрелил третий спортсмен. Решите по формуле Байеса пожалуйста.​

Answer 1

A — мишень поражена;

Вероятность попадания в мишень каждым спортсменом равновероятны,т.е.  $P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\dfrac{1}{3}$

$P(A|H_1)=0{,}3;~ P(A|H_2)=0{,}8;~~ P(A|H_3)=0{,}5.$

По формуле полной вероятности вероятность того, что мишень будет поражена равна

$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)+P(H_3)P(A|H_3)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\cdot0{,}3+\dfrac{1}{3}\cdot 0{,}8+\dfrac{1}{3}\cdot 0{,}5=\dfrac{1}{3}\Big(0{,}3+0{,}8+0{,}5\Big)=\dfrac{8}{15}$

По формуле Байеса, вероятность того, что по мишени выстрелил третий спортсмен, равна:

$P(H_3|A)=\dfrac{P(H_3)P(A|H_3)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot 0{,}5}{\dfrac{8}{15}}=\dfrac{5}{16}=0{,}3125$

Ответ: $0{,}3125.$

Answer 2

Давайте применим формулу Байеса для решения этой задачи. Пусть событие A обозначает факт того, что по мишени выстрелил третий спортсмен, а событие B обозначает факт того, что мишень была поражена.

Мы хотим найти вероятность того, что по мишени выстрелил третий спортсмен при условии, что мишень была поражена, т.е. P(A|B). По формуле Байеса:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

где: P(B|A) - вероятность поражения мишени, если выстрелил третий спортсмен (0.5), P(A) - вероятность того, что по мишени выстрелил третий спортсмен (начально равна 1/3, так как у нас трое спортсменов), P(B) - вероятность поражения мишени (сумма вероятностей поражения мишени всеми спортсменами).

Теперь вычислим эти вероятности:

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)

Вероятность поражения мишени, если не третий спортсмен (¬A), равна сумме вероятностей поражения мишени первым и вторым спортсменами: 0.3 + 0.8 = 1.1.

P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 1/3 = 2/3.

Теперь можем вычислить P(B):

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A) = 0.5 * 1/3 + 1.1 * 2/3 = 0.5/3 + 2.2/3 = 2.7/3.

Теперь можем вычислить P(A|B):

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) = (0.5 * 1/3) / (2.7/3) = 0.5/2.7 ≈ 0.1852.

Таким образом, вероятность того, что по мишени выстрелил третий спортсмен при условии, что мишень была поражена, составляет примерно 0.1852 или около 18.52%.