Question

Доказать по определению предела lim (x-5) = 3, х стремится к 8

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По определению число А называется пределом функции f(x) при $x \rightarrow x_0$, если для любого ε > 0 существует  число δ > 0 такое, что выполняется неравенство | f(x) - A| < ε при условии, что 0 < |x - x₀| < δ. В данном случае А = 3, f(x) = x - 5, x₀ = 8.

Пусть δ = ε > 0. Очевидно, что если 0 < |x - x₀| = |x - 8| < δ, то |f(x) - A| = |(x - 5) - 3| = |x - 8| < δ = ε. Т.е существует такое число δ (причем для любого ε) такое, что неравенства выполняются. Значит, число 3 является пределом, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства по определению предела, что $\lim_{{x \to 8}} (x-5) = 3$, мы должны показать, что для каждого положительного числа $\varepsilon$ существует положительное число $\delta$, такое что если $0 < |x - 8| < \delta$, то $|(x-5) - 3| < \varepsilon$.

Итак, пусть $\varepsilon$ - произвольное положительное число. Мы должны найти соответствующее положительное число $\delta$, удовлетворяющее условию.

Раскроем модуль $|(x-5) - 3|$ по определению:

$|(x-5) - 3| = |x-8|$

Теперь давайте выберем $\delta = \varepsilon$. Тогда, если $0 < |x - 8| < \delta = \varepsilon$, мы можем утверждать, что $|(x-5) - 3| < \varepsilon$, так как $|(x-5) - 3| = |x-8| < \delta = \varepsilon$.

Таким образом, мы доказали, что для каждого положительного числа $\varepsilon$ существует положительное число $\delta$, такое что если $0 < |x - 8| < \delta$, то $|(x-5) - 3| < \varepsilon$.

Следовательно, $\lim_{{x \to 8}} (x-5) = 3$ по определению предела.