Question

Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 1.6 и 1. Какова вероятность того, при четырех испытаниях Х попадает хотя бы один раз в интервал (1.2)

Answer 1

Вероятность попадания величины Х в промежуток (1;2) найдем по формуле:

$P(\alpha$, где F(x) - функция Лапласа

$P(1$

Вероятность того, что случайная величина Х не попадет в промежуток (1;2) равна $q=1-0{,}381=0{,}619$

Тогда вероятность того, что при четырех испытаниях случ. величина Х не попадет в интервал (1;2) равна $Prob=q^4=0{,}619^4$. Окончательно имеем: вероятность того, что при четырех испытаниях Х попадает хотя бы один раз в интервал (1;2) равна $\overline{Prob}=1-Prob=1-0{,}619^4\approx0{,}853$

Ответ: 0,853.

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что случайная величина X попадет хотя бы один раз в интервал (1.2), мы можем использовать дополнение вероятности. То есть найдем вероятность того, что X не попадет ни разу в интервал (1.2), а затем вычтем это значение из 1.

Поскольку X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (μ) 1.6 и средним квадратическим отклонением (σ) 1, мы можем стандартизировать интервал (1.2) для нахождения соответствующих Z-оценок.

Z-оценка для нижнего предела интервала (1.2):

Z_нижний = (1.2 - μ) / σ = (1.2 - 1.6) / 1 = -0.4

Z-оценка для верхнего предела интервала (1.2):

Z_верхний = (1.2 - μ) / σ = (1.2 - 1.6) / 1 = -0.4

Теперь, чтобы найти вероятность попадания в интервал (1.2) один раз за 4 испытания, мы используем биномиальное распределение.

Вероятность не попасть в интервал (1.2) при одном испытании:

P(X не попадает в интервал (1.2)) = P(X < 1.2) + P(X > 1.2) = P(Z < -0.4) + P(Z > 0.4)

Здесь P(Z < -0.4) и P(Z > 0.4) могут быть найдены из таблицы значений стандартного нормального распределения.

P(Z < -0.4) ≈ 0.3446 P(Z > 0.4) ≈ 0.3446

P(X не попадает в интервал (1.2)) ≈ 0.3446 + 0.3446 ≈ 0.6892

Теперь найдем вероятность попадания хотя бы один раз за 4 испытания:

P(хотя бы один раз) = 1 - P(ни одного раза) = 1 - (P(X не попадает в интервал (1.2)))^4

P(хотя бы один раз) ≈ 1 - 0.6892^4 ≈ 1 - 0.2409 ≈ 0.7591

Таким образом, вероятность того, что X попадает хотя бы один раз в интервал (1.2) за 4 испытания, составляет примерно 0.7591 или около 75.91%.