Question

15б!!!Представьте в виде произведения выражениеcosα+cos5α+2cos3α.

Answer 1

Ответ:

$\underbrace {cosa+cos5a}+2cos\, 3a=2\, cos\frac{a+5a}{2}\cdot cos\frac{a-5a}{2}+2cos3a=\\\\=2cos3a\cdot cos2a+2cos3a=2cos3a\cdot (cos2a+1)=2cos3a\cdot 2cos^2a=\\\\=4cos3a\cdot cos^2a\\\\\star \; \; cosx+cosy=2\cdot cos\frac{x+y}{2}\cdot cos\frac{x-y}{2}\; \; \star \\\\\star \; \; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\; \; \Rightarrow \; \; \; 1+cos2x=2cos^2x\; \; \star$

Answer 2

Для представления выражения в виде произведения, воспользуемся формулой суммы косинусов:

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

Теперь применим эту формулу к выражению cosα + cos5α + 2cos3α:

cosα + cos5α + 2cos3α = cos(α) + cos(3α + 2α) + 2cos(3α)

Заметим, что 3α + 2α = 5α, поэтому:

cos(α) + cos(3α + 2α) + 2cos(3α) = cos(α) + cos(5α) + 2cos(3α)

Теперь, используем формулу для суммы косинусов, которая приведена выше:

cos(α) + cos(5α) + 2cos(3α) = 2 * cos((α + 5α) / 2) * cos((α - 5α) / 2) + 2 * cos(3α)

Упростим:

2 * cos(6α / 2) * cos(-4α / 2) + 2 * cos(3α)

cos(3α) равен тому, что уже есть в выражении, поэтому выражение упрощается:

2 * cos(6α / 2) * cos(-4α / 2) + 2 * cos(3α) = 2 * cos(3α) * cos(-2α) + 2 * cos(3α)

Теперь, воспользуемся формулой для разности косинусов:

cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B) = cos(A - B)

В нашем случае B = 2α:

cos(3α) * cos(-2α) - sin(3α) * sin(-2α) = cos(3α - 2α)

Получаем:

cos(3α - 2α) + 2 * cos(3α)

Так как 3α - 2α = α, то выражение упрощается окончательно:

cos(α) + 2 * cos(3α)

Таким образом, исходное выражение cosα + cos5α + 2cos3α может быть представлено в виде произведения:

cosα + cos5α + 2cos3α = cos(α) + 2 * cos(3α)