Question

Упростить а). sin2αcos2αcos4α б). (1-sin2α)(sin4α-sin2α) / cosα+2cos3α+cos5α

Answer 1

A) Sin2αCos2αCos4α = 1/2 * 2  Sin2αCos2αCos4α= 1/2Sin4αCos4α=
=1/2*1/2* 2Sin4αCos4α = 1/4Sin8α
б) числитель = (Sin²α + Cos²α - 2SinαCosα)(2SinαCos3α) = 
=(Sinα -Cosα)² * 2Sinα Cos3α
знаменатель = Cosα +2Cos3α + Cos5α = 2Cos3αCos2α + 2Cos3α=
=2Cos3α(Cos2α +1) = 2Cos3α(Cos²α - Sin²α +1) =
=2Cos3α(Cos²α + Cos²α)= 2* 2Cos3αCos²α
дробь можно сократить на 2Cos3α

Answer 2

а) Распишем произведение:

sin2αcos2αcos4α = (sin2α)(cos2α)(cos4α) = (sin2α)(1-sin2α)(1-2sin2α)(1-2sin2α+2sin4α)

Здесь мы использовали тригонометрические тождества sin2α = 1 - cos2α и cos2α = 1 - sin2α. Теперь можно сократить синусы:

sin2αcos2αcos4α = (1-sin2α)(1-2sin2α)(1-2sin2α+2sin4α)cos2α

б) Распишем числитель и знаменатель:

(1-sin2α)(sin4α-sin2α) / (cosα+2cos3α+cos5α) = (sin4α-sin2α-sin6α+sin4α) / (cosα+2cos3α+cos5α)

Здесь мы использовали тождество sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ. Теперь можем вынести общий множитель из числителя:

(sin4α-sin2α-sin6α+sin4α) = 2sin4α-2sin2α-2sin3αcosα

Здесь мы снова использовали тождество sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ, но уже в обратном направлении: sinαcosβ = (1/2)(sin(α+β)+sin(α-β)). Теперь можем сгруппировать члены в числителе:

2sin4α-2sin2α-2sin3αcosα = 2sin2α(2cos2α-1)-4sin2αcosα+2sin2α(1-cos2α) = 4sin2αcos2α-4sin2αcosα

Здесь мы использовали тождества sin2α = 1 - cos2α и cos2α = 1 - sin2α. Теперь можно сократить на общий множитель:

(4sin2αcos2α-4sin2αcosα) / (cosα+2cos3α+cos5α) = 4cosα(sinα- cosα) / (cosα+2cos3α+cos5α)