Question

Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x)=sin3x , график которой проходит через точку А(П/3 ; -1)

Answer 1

Ответ:

$f(x)=sin3x;F(x)=-\frac{1}{3}cos3x+C;F(\pi/3)=-1;-\frac{1}{3}cos\pi+C=-1;\\\frac{1}{3}+C=-1;C=-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3};\\F(x)=-\frac{1}{3}cos3x-\frac{4}{3}$

Объяснение:

Answer 2

Общий вид первообразной F(x)=(-сos3x)/3 +c

Подставим координаты точки в уравнение для нахождения с

-1=(-сos3*π/3)/3 +c

-1=(-сos*π)/3 +c

-1=1/3 +c⇒с=-1 1/3; с=-4/3

Искомая первообразная, проходящая через точку А(π/3; -1), имеет вид  F(x)=((-сos3x)/3) -1 1/3

Answer 3

Чтобы найти первообразную функцию F(x) для f(x) = sin(3x), мы будем использовать метод интегрирования по частям.

По формуле интегрирования по частям, имеем:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫u' * (∫v dx) dx,

где u - первая функция, а v - вторая функция.

В нашем случае, возьмем u = 1/3x и v = -cos(3x). Тогда:

du/dx = 1/3, и ∫v dx = -∫cos(3x) dx = -(1/3) * sin(3x).

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫sin(3x) dx = u * ∫v dx - ∫u' * (∫v dx) dx = (1/3x) * (-∫cos(3x) dx) - ∫(1/3) * (-sin(3x)) * (-∫cos(3x) dx) dx = (1/3x) * (-(-1/3) * sin(3x)) - (1/3) * ∫sin(3x) * (-1/3) * sin(3x) dx.

Упрощаем:

∫sin(3x) dx = (1/3x) * (1/3) * sin(3x) + (1/9) * ∫sin^2(3x) dx.

Мы хотим найти первообразную, поэтому заметим, что ∫sin^2(3x) dx = ∫(1 - cos^2(3x)) dx.

Используя формулу сокращения двойного угла для косинуса, имеем: cos^2(3x) = (1/2)(1 + cos(6x)).

Теперь, можем записать:

∫sin(3x) dx = (1/3x) * (1/3) * sin(3x) + (1/9) * (∫1 dx - ∫(1/2)(1 + cos(6x)) dx) = (1/9) * (1/3x) * sin(3x) + (1/9) * (x - (1/2) * ∫(1 + cos(6x)) dx).

Вычислим оставшийся интеграл ∫(1 + cos(6x)) dx:

∫(1 + cos(6x)) dx = ∫1 dx + ∫cos(6x) dx = x + (1/6) * sin(6x).

Теперь мы можем окончательно записать первообразную функцию F(x):

F(x) = (1/9) * (1/3x) * sin(3x) + (1/9) * (x - (1/2) * ∫(1 + cos(6x)) dx) = (1/9) * (1/3x) * sin(3x) + (1/9) * (x - (1/2) * (x + (1/6) * sin(6x))).

Таким образом, первообразная функция F(x) для f(x) = sin(3x), проходящая через точку А(π/3, -1), равна:

F(x) = (1/9) * (1/3x) * sin(3x) + (1/9) * (x - (1/2) * (x + (1/6) * sin(6x))) + C,

где C - произвольная постоянная.